Комбинации логических высказываний

Для начала определим роль скобок: скобки служат обозначением очерёдности действий в комбинации логических высказываний. Под комбинацией логических высказываний подразумевается некое высказывания F = F(A, B, C,…) где А, B, C, … - составные высказывания, связанные логическими действиями. К примеру эквивалентность высказываний A и B можно записать в виде

(А≡B) = (A⇒B)&(B⇒A) Следует учесть надобность скобок, так как высказывания A⇒(B&B)⇒A или А⇒(B&(B⇒A)) не одинаковы.

Ещё один пример

F(A, B, C) = (((⅂A)∨B)⇒C) Рассмотрим 8 комбинаций

A B C ⅂A (⅂A)∨B ((⅂A)∨B)⇒C

T T T F T T

T T F F T F

T F T F F T

T F F F F T

F T T T T T

F T F T T F

F F T T T T

F F F T T F

Если условия для высказываний A B и C наперёд даны, то по данной схеме можно вычислить истинность F.

Стоит учесть, что верны формулы

А∨(B∨C) ≡ (A∨B)∨C

A&(B&C) ≡ (A&B)&C

A≡(B≡C) ≡ (A≡B)≡C

Тавтологии

Тавтология есть выражение, истинность которого не зависит от истинности составных высказываний. К примеру

F(A) = A∨(⅂A) и G(A) = (A≡(⅂A))

A ⅂A F(A) G(A)

T F T F

F T T F

Упражнения

1. Вывести таблицу F(A, B) = (A≡B)⇒((⅂A)&B).

2. Доказать, что если A и A⇒B тавтологии, то B тавтология.

3. Доказать, что если F(A, B, C) тавтология, то тавтология так же F(X, Y, Z).

4. Доказать формулы

A≡(⅂(⅂A))

⅂(A&B) ≡ (⅂A)∨(⅂B)

⅂(A∨B) ≡ (⅂A)&(⅂B)

A∨(B&C) ≡ (A∨B)&(A∨C)

A&(B∨C) ≡ (A&B)∨(A&C)

A&(A∨B) ≡ A

A∨(A&B) ≡ A

A⇒B ≡ (⅂A)∨B

A⇒B ≡ (⅂B)⇒(⅂A)

(A≡B) ≡ ((⅂A)≡(⅂B))