Ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. В противном случае, оно называетсянеограниченным

Ясно, что множество Х ограничено, если , так как .

Неограниченное множество Х можно определить так: множество Хнеограниченно .

Пример. – ограниченное множество – ограничено, если и конечны, и не ограничено, если .

Переменные и постоянные величины. Величина называется переменной, если она принимает различные значения. Если величина все время сохраняет одно и то же численное значение, то она называется постоянной. Поскольку все в окружающем нас мире находится в непрерывном движении, изменении, ясно, что большинство величин, характеризующих происходящие в материальном мире процессы и явления, являются переменными. Что касается постоянных величин, то они могут быть постоянными всегда (например, сумма углов всякого треугольника равна ) либо только в данном процессе, в другом процессе они могут оказаться переменными (например, автомобиль может двигаться с постоянной скоростью и с меняющейся скоростью ). В математическом анализе постоянные величины рассматриваются как частный случай переменных величин: это такие «переменные», которые всегда или, по крайней мере, в данном процессе принимают одно и то же значение.

Область значений переменной величины. Множество всех значений переменной величины составляет ее область значений. Областью значений переменной часто бывает интервал.

Пример. Точка М (рис. 5) движется по окружности радиуса г = 1 с центром в начале координат.

M

Рис. 5

1 1

Рис. 5

Если считать, что точка совершила, по крайней мере, один полный оборот, то область значений ее абсциссы есть замкнутый интервал [-1;1]. Если движение началось с положения , происходит против часовой стрелки и сделано полных оборотов, то область значений переменной величины - некоторый интервал . Область значений переменной есть .

Однако областями значений переменных величин могут быть и другие множества, отличные от интервалов и их объединений. Например, если -количество деталей, изготовленных рабочим за смену, то может принимать лишь целые и неотрицательные значения, но не . Область значений этой переменной величины не является интервалом.

Часто важно знать не только область значений переменной, но и в каком порядке переменная принимает значения: какие из этих значений принимаются раньше, а какие позже.

Пример. Вернемся к Рис.5. Если точка совершает половину оборота против часовой стрелки, т.е. от до , то убывает от 1 до -1. Область значений - интервал

[-1;1], пробегаемый справа налево.

Если же точка совершает половину оборота от до :, то взрастает от -1 до +1, и область значений [-1;1] пробегается слева направо.

Если точка делает один полный оборот, то область значений - все тот же интервал

[-1;1], но он пробегается дважды.

Далеко не для всех типов переменных величин бывает просто указать, какое из их значений какому предшествует и за каким следует. Однако этот вопрос просто и естественно решается для одного важного класса переменных величин - так называемых последовательностей.

Последовательности. Предположим, что все значения, принимаемые переменной величиной , можно пронумеровать с помощью всевозможных натуральных (целых положительных) чисел: причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером: если , то значение предшествует значению , в частности предшествует . В этом случае говорят, что переменная пробегает последовательность значений или что имеется последовательность (или числовая последовательность). Числа называются членами последовательности: - первый член, , - второй и т.д. Число с произвольным номером называется общим членом последовательности. Последовательность определена, если мы знаем закон, по которому для любого номера образован соответствующий член последовательности. Иными словами, если мы знаем закон зависимости общего члена от его номера . Последовательность часто обозначают

Примеры:

1.

2.

3.

4.

Мы видим, что члены последовательности не обязаны все быть разными числами: область значений последовательности в примере 3 состоит из значений: -1 и 1. Переменная, пробегающая последовательность в примере 4 оказывается на самом деле постоянной.