Функция, область определения. Сложные, неявные, обратные функции. Основные элементарные функции

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀). Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x (t), y = y (t) и определены в некоторой окрестности точки t ₀, причем x (t ₀) = x ₀, y (t ₀) = y ₀.

Тогда в окрестности точки t ₀ определена сложная функция аргумента t

z = f (x (t), y (t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x (u, v) и y = y (u, v), то функция z = f (x, y) является сложной функцией двух переменных u и v:

z = f (x (u, v), y (u, v)).

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

§ для всех

§ для всех

Функция y = f (x), , называется неявной, если она задана уравнением F (x, y) = z ₀, , где значение фиксировано.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

§ алгебраические:

§ степенная;

§ рациональная.

§ трансцендентные:

§ показательная и логарифмическая;

§ тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывнына своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.