Нелинейные статические модели

Пусть . Рассмотрим представление линейной модели в виде (4). Вместо линейных связей на переменные модели наложим нелинейные связи:

g_p(x) ≤ 0,р = 1,...,т. (8)

Модель (8) – общее представление нелинейной статической модели с конечным числом ограничений.

Так же как и в случае линейных систем, модель (8) можно представить в виде (7), только теперь множество X уже не является многогранным.

Среди нелинейных статических моделей, используемых в экономико-математических моделях, наиболее важную роль играют модели, для которых множество допустимых значений X является выпуклым, точнее говоря, вместе с любыми двумя векторами и этому множеству принадлежит весь отрезок, равный

х = ах^*+ (1 - а) х^**, где а ∈ (0; 1).

Для рассмотренных линейных статических моделей множество X всегда выпукло. Для нелинейных моделей это не всегда так. Модели с выпуклым множеством X более удобны для исследования, поэтому модель стараются сформулировать так, чтобы множество X было выпукло.

Рассмотрим вопрос об условиях, достаточных для того, чтобы множество допустимых значений X, описываемое соотношением (8), было выпуклым. Этот вопрос решается на основе введения понятия выпуклой функции. Функция g (х), где , называется выпуклой вниз, если для любых значений х^* и х^** и при любом числе а, изменяющимся от 0 до 1, выполнено неравенство:

g(ax^*+ (1 - a)x^**) ≤ ag(x^*) + (1 - a)g(x^**). (9)

Если же для некоторой функции выполнено обратное условие, то ее называют вогнутой (или выпуклой вниз). В том случае, когда все нелинейные функции g_p(x), (р = 1,..., т) выпуклы, множество х тоже выпукло. Понятие выпуклости функции играет важную роль в экономико-математическом моделировании, поскольку позволяет получить интересные качественные результаты.

Как в линейных, так и в нелинейных экономико-математических моделях множество X обычно содержит более одного допустимого вектора. Это означает, что имеется некоторая свобода выбора: соотношение модели не определяет единственным образом то, что произойдет с изучаемой экономической системой. Это позволяет ввести понятие внешнего воздействия или управления, определяющего судьбу моделируемой системы.

В статических моделях типа (3) или (8) управлением является вектор x ∈ Еⁿ, причем необходимо выбирать такие его значения, которые удовлетворяют всем ограничениям (3) или (8).

При исследовании некоторых моделей типа (3) или (8) фактически надо выбирать не n значений переменных, а меньшее число. Например, если в системе (3) часть неравенств объединяется в равенство (1), то, разрешив эту систему равенств, часть переменных можно выразить через другие, т. е. представить модель (3) в виде:

(10)

где А и В – матрицы, а b – вектор. Тогда управлениями будут переменные, вошедшие в вектор х^*, а переменные из вектора х^** будут определяться внутри модели.

Представление моделей вида (3) или (5) в виде (10) позволяет ввести понятие экзогенных и эндогенных переменных. В модели (10) экзогенными (т. е. происходящими извне) являются переменные, составляющие вектор х^*, эндогенными - переменные, вошедшие в вектор х^**.