Предельные теоремы теории вероятностей

1). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах цель будет поражена: а) 145 раз; 2) не менее 100 и не более 150 раз?

Решение. а). По условию (). Поскольку величина значительно больше 1, то для нахождения искомой вероятности можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа:

, где .

Используя числовые данные задачи, находим:

, .

По таблице приложения 2 определяем .

Поэтому окончательно имеем .

б). Для приближённого вычисления искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где

Используя числовые данные задачи, находим: , .

По таблице приложения 3 определяем: .

Окончательно получаем .

Ответ: а) 0,003; б) 0,998.

2). Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,002. Найти вероятность того, что в 1000 испытаниях событие не наступит ни разу.

Решение. Так как вероятность события в каждом из независимых испытаний мала, а число испытаний велико, то для нахождения искомой вероятности можно воспользоваться приближённой формулой Пуассона

, где .

Следовательно, или

0,14.

Ответ: 0,14.

3). Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Решение. Для вычисления искомой вероятности воспользуемся теоремой Бернулли о вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности:

.

Здесь – относительная частота, – вероятность данного события. По условию

.

Поэтому . По таблице приложения 3 находим: . Таким образом, окончательно

.

Ответ: 0,98.

4). Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,36. Сколько нужно сделать испытаний, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления данного события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

.

Полагая , , , для определения получаем неравенство или . По таблице приложения 3 находим, что если , то . Поэтому (в силу возрастания функции ) получаем , отсюда или 8852.

Ответ: нужно сделать не менее 8852 испытаний.

5). Вероятность появления события в каждом из 12100 независимых испытаний равна 0,75. В каком интервале с вероятностью будет при этом лежать относительная частота данного события?

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

,

где , , .

Тогда для определения получаем уравнение или .

По таблице приложения 3 находим, что если , то . Отсюда или . Искомый интервал имеет вид , т.е. .

Ответ: .

Приложение 1