Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1). Вероятность того, что при измерении некоторой величины будет допущена относительная ошибка, превышающая 5%, равна 0,2, а вероятность того, что эта ошибка превысит 10%, равна 0,08. В результате измерения относительная ошибка превысила 5%. Какова вероятность того, что эта ошибка превысила 10%?

Решение. Пусть {относительная ошибка превысила 10%}, {относительная ошибка превысила 5%}. Необходимо найти условную вероятность . Согласно определению условной вероятности . Очевидно, что , т.к. если ошибка измерения превысила 10%, то она превысила и 5%, т.е. наступление события влечёт за собой наступление события . Поэтому . По условию =0,08, =0,2. Отсюда

.

Ответ: 0,4.

2). Только один из 10 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что замок будет открыт с четвёртой попытки, т.е. для открывания замка придётся испытать 4 ключа?

Решение. Пусть { -ый ключ подошёл к замку}, {для открывания замка придётся испытать 4 ключа}. Тогда . Поскольку события-множители являются зависимыми, то . Из условия задачи следует, что , , , . Поэтому .

Ответ: .

3). Три стрелка ведут стрельбу по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,8, для третьего – 0, 9. Найти вероятность поражения цели а) только двумя стрелками; б) хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть ={в цель попал -ый стрелок}, ={цель поражена только двумя стрелками}, ={цель поражена хотя бы одним стрелком}. По условию . Поэтому .

а). Используя операции сложения и умножения, выразим событие через события и : .

Поскольку все события-слагаемые являются попарно несовместными, то .

Так как события-множители являются независимыми, то ,

,

.

Окончательно получаем

.

б). Найдём вероятность события , которое выражается через события и проще, чем событие :

.

Так как события независимы в совокупности, то

.

Следовательно, .

Ответ: а) 0,536; б) 0,988.

4). Двое по очереди подбрасывают монету до первого появления «герба». Найти вероятность того, что второй сделает столько же подбрасываний, сколько и первый.

Решение. Пусть ={выпадение «герба» при -ом подбрасывании}, ={второй сделает столько же подбрасываний, сколько и первый}. Тогда

Поскольку все события-слагаемые несовместны, а все события-множители независимы, то, используя аксиому вероятности суммы несовместных событий и теорему произведения независимых событий, получаем:

Из условия следует, что , а поэтому и , Таким образом,

.

Ответ: 1/3.

5). На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Двое по очереди наудачу извлекают карточки до первого появления карточки с чётной цифрой (после извлечения карточка обратно в колоду не возвращается). Какова вероятность того, что первый сделает больше извлечений, чем второй?

Решение. ={карточка с чётной цифрой появилась при -ом извлечении}, ={первый сделает больше извлечений, чем второй}. Тогда . Поскольку события и несовместны, то . Так как события – зависимы, то

.

Из условия задачи следует, что

, .

Поэтому окончательно имеем .

Ответ: 3/5.

6). Сколько раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,96875 «герб» выпал хотя бы один раз?

Решение. Пусть {при подбрасываниях монеты «герб» выпал хотя бы один раз}. Тогда {при подбрасываниях монеты «герб» не выпал ни разу, т.е. раз подряд выпадала «решка»}.

Так как вероятность выпадения «решки» при одном подбрасывании равна , то в силу независимости выпадений «решки» при -кратном подбрасывании монеты имеем , а, следовательно, .

По условию . Поэтому для определения получаем уравнение 0,96875. Отсюда .

Ответ: 5.