Структурні схеми кореляційної та фільтрової обробки двох детермінованих сигналів при їх розрізненні

Оптимальне згідно критерію ідеального спостерігача розрізнення двох детермінованих сигналів з однаковими ймовірностями передачі та однаковою енергією на фоні флуктуаційної стаціонарної завади з нормальним законом розподілу та постійною спектральною щільністю потужності N ₀ (нормальний білий шум) при кореляційній обробці реалізується відповідно правилу (2.14) та зводиться до обчислення кореляційних інтегралів виду (2.15).

В свою чергу обчислення кореляційного інтеграла може бути здійснене за допомогою корелятора або узгодженого фільтра. У першому випадку говорять про кореляційну обробку, у другому – про фільтрову обробку.

2.2.1. Кореляційна обробка сигналів

Структурна схема кореляційного приймача двох сигналів показана на рис. 2.1. Як видно із рисунка, схема має два канали, що включають пристрої розрахунку кореляційного інтегралу. Пристрій, що дозволяє розрахувати значення кореляційного інтегралу називають корелятором. Корелятор включає помножувач та інтегратор (Інт). Час інтегрування визначається часом спостереження сигналу (тривалістю сигналу Т).

У кожному каналі по прийнятому сигналу y (t) проводиться обчислення кореляційного інтегралу z_i. Коливання y (t) перемножується з цією метою на опорний сигнал s_i (t), яке точно відповідає за формою та параметрами (в тому числі і по початковій фазі) очікуваному сигналу. Добуток y (t) s_i (t) подається на інтегратор. Рішення про передачі сигналу s ₁(t) (переданий символ «1»), або s ₀(t) (переданий символ «0») приймається пристроєм порівняння (ПП) по співвідношенню значень кореляційних інтегралів.

Рис. 2.1. Структурна схема кореляційного приймача

Фізичний зміст роботи корелятора пояснюється на рис. 2.2, а, б. Показані очікуване коливання s (t) та прийняті коливання: y (t)= п (t) – при відсутності сигналу та y (t) = n (t)+ s (t) – при його наявності. Для обох випадків показані добутки функцій s (t) і y (t) та результати їхнього інтегрування:

; ,

де z_п (t) та z_сп (t) – значення кореляційного інтегралу при відсутності та наявності в складі y (t) корисного сигналу відповідно. Ширина спектру частот завади вважається істотно більшою ширини спектру сигналу, що узгоджується з прийнятими припущеннями при виводі формули (2.15). Добуток y (t) s (t)·= s (t) п (t) при відсутності сигналу зводиться до шумових коливань завади п (t), модульованими опорним (очікуваним) коливанням s (t). З появою сигналу наряду з шумовою складовою s (t) n (t) утвориться ненегативна сигнальна складова s ²(t), яка підкреслюється при інтегруванні по відношенню до знакозмінної шумової. Кореляційна обробка виявляє в такий спосіб подібність (кореляцію) прийнятих коливань із очікуваними.

На приведеному рисунку врахований факт детермінованості сигналів, а саме, форма сигналу, його частота та початкова фаза корисної складової прийнятого коливання та початкова фаза опорного коливання співпадають. Будь-яка невідповідність параметрів опорного та корисного сигналів приводить до зниження якості розрізнення сигналів, або повної непрацездатності приймача. Слід зазначити, що тільки в момент часу t = T значення вихідного сигналу корелятора буде дорівнювати значенню кореляційного інтегралу z_і.

а) б)

Рис. 2.2. Принцип роботи кореляційного приймача

Графік функції z_сп (t) на рис. 2.2, б відповідає вихідному сигналу корелятора, опорний сигнал якого s_i (t) співпадає з корисним сигналом, що міститься в складі прийнятого коливання y (t) = n (t)+ s_i (t). В протилежному випадку, коли опорний сигнал s_i (t) не співпадає з сигналом прийнятого коливання y (t) = n (t)+ s_j (t), j ≠ i, вихідний сигнал корелятора буде подібним сигналу z_п (t) на рис. 2.2, а. Даному випадку відповідає рис. 2.3, на якому показаний добуток [ n (t)+ s ₁(t)] s ₀(t)·та результат його інтегрування z ₀(t) для частотно-маніпульованих сигналів

при f ₁ – f ₀ = 1/ T (сигнали ортогональні).

t

y (t) s 0(t)

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AIBg+xLHAAAA3gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0FrwkAUhO+F/oflFXqrm6iIRFeRQqGe qokevD2yzySYfRt2tzH6612h0OMwM98wy/VgWtGT841lBekoAUFcWt1wpeBQfH3MQfiArLG1TApu 5GG9en1ZYqbtlffU56ESEcI+QwV1CF0mpS9rMuhHtiOO3tk6gyFKV0nt8BrhppXjJJlJgw3HhRo7 +qypvOS/RsFPftj2x9RN+vNpstPF7X4stoVS72/DZgEi0BD+w3/tb61gnMzSKTzvxCsgVw8AAAD/ /wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50 X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAA X3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAA ZHJzL3BpY3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAIBg+xLHAAAA3gAAAA8AAAAAAAAAAAAA AAAAnwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACTAwAAAAA= ">

t

z 0(t)

Рис. 2.3. Сигнали корелятора

T

2.2.2. Фільтрова обробка сигналів

Очевидно, що оптимальний алгоритм розрізнення двох детермінованих сигналів можна реалізувати, якщо порівнювати не тільки значення кореляційних інтегралів, а і величини їм пропорційні. В свою чергу, сигнал пропорційний значенню кореляційного інтегралу, можливо отримати за допомогою лінійного фільтра, параметри якого узгоджені з параметрами сигналів, що розрізнюється. Такі фільтри називають узгодженими фільтрами (УФ), а процес оптимальної обробки з допомогою таких фільтрів отримав назву процесу узгодженої фільтрації.

Відомо, що при подачі на вхід лінійного фільтра з імпульсною характеристикою v(t) сигналу y(t) сигнал на його виході описують інтегралом згортки

.

(2.16)

Як видно з виразу (2.16), структура інтеграла згортки подібна структурі кореляційного інтеграла (2.15), що дозволяє стверджувати про можливість використання лінійної фільтраціє для його обчислення.

Визначимо умови, при яких вихідний сигнал лінійного фільтра буде дорівнювати значенню кореляційного інтегралу. Для цього запишемо вираз для кореляційного інтегралу при умові подачі на помножувач корелятора затриманого на час τ очікуваного сигналу s_i(t, τ) = x(t - τ):

.

(2.17)

Для обчислення кореляційного інтегралу вихідний сигнал u(t) узгодженого з сигналом фільтра повинен відтворювати значення z(τ) для різних τ послідовно в часі з деякою затримкою t₀. Зажадаємо, щоби

.

(2.18)

Уніфікуючи позначення змінної інтегрування в (2.16), (2.17) вираз (2.18) представимо у вигляді

.

(2.19)

Рівність (2.19) тотожно задовольняється при умові . Позначив та замінивши , находимо імпульсну характеристику узгодженого з сигналом фільтра

,

(2.20)

яка є оптимальною для випадку стаціонарного білого шуму.

Таким чином, імпульсна характеристика узгодженого з сигналом фільтра повністю визначається формую сигналу (“узгоджена” з сигналом).

Імпульсна характеристика узгодженого фільтра є дзеркальним відображенням очікуваного сигналу (рис. 2.4). За рахунок цього при узгодженій фільтрації виконуються операції кореляційної обробки: помноження прийнятих сигналів на очікувані та інтегрування одержаних результатів. Величина затримки t₀ не може бути надто малою, інакше умова реалізуємості фільтра ( при t<0) виконана не буде. Для імпульсних сигналів з відмінними від нуля значеннями на інтервалі t<Т величина t₀≥ Т.

Рис. 2.4. Імпульсна характеристика узгодженого фільтра

На рис. 2.5 представлені графіки вихідного сигналів узгодженого фільтра при наявності та відсутності в складі y(t) корисного сигналу s(t) у вигляді радіоімпульсу відповідно.

Рис. 2.5. Пояснення процесу узгодженої фільтрації

Визначимо частотні характеристики узгодженого фільтра. Відомо, що частотна характеристика фільтра знаходиться перетворенням Фур’є від імпульсної характеристики

.

(2.21)

Зробимо заміну змінних t₀ - t = s, t = t₀ - s,dt = - ds та границь інтегрування. Тоді отримаємо

.

Інтеграл представляє собою комплексно сполучене значення спектральної щільності сигналу

.

Частотна характеристика узгодженого фільтра зводиться таким чином до добутку комплексно сполученого значення спектральної щільності сигналу та множника затримки :

.

(2.22)

Оскільки модуль частотної характеристики

,

(2.23)

то амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) узгодженого фільтра повинна співпадати з амплітудно-частотним спектром очікуваного сигналу.

Фазочастотна характеристика (ФЧХ) узгодженого фільтра пов’язана з фазочастотним спектром співвідношенням

,

(2.24)

де – ФЧС сигналу.

Узгоджений фільтр має в загальному випадку нерівномірну амплітудно-частотну та нелінійну фазочастотну характеристику: він спотворює сигнал. Завданням цього фільтра є не відтворення сигналу, а виділення його піка на фоні завади. Найкращим чином відтворюються лише найбільш інтенсивні спектральні складові сигналу (рис. 2.6). Його слабкі складові придушуються, інакше з ними пройшли б інтенсивні складові завади.

Фазочастотна характеристика узгодженого фільтра arg компенсує взаємні фазові зсуви елементарних гармонійних складових спектра сигналу. Сигнальна складова u_с (t) вихідного сигналу фільтра залежить тільки від амплітудно-частотного та не залежить від фазочастотного спектра сигналу

,

(2.25)

і в момент часу t = τ + t ₀ приймає максимальне значення

.

Формула враховує, що при відсутності завади = e ^{- j 2π f τ}, a визначається згідно (2.22). У момент t = t ₀+ τ гармонійні складові різних частот (2.25) складаються у фазі, утворюючи сигнальний пік на виході узгодженого фільтра, що спрощено пояснюється на рис. 2.7 для трьох дискретних гармонік спектру.

Рис. 2.6. АЧХ узгодженого фільтра Рис. 2.7. Вихідний сигнал УФ

Структурна схема оптимального по критерію ідеального спостерігача фільтрового приймача двох детермінованих сигналів s₁(t) і s₀(t) з однаковими ймовірностями передачі та однаковою енергією на фоні флуктуаційної стаціонарної завади з нормальним законом розподілу та постійною спектральною щільністю потужності N₀ (нормальний білий шум) представлена на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Структурна схема фільтрового приймача

Для оптимального фільтрового приймача суттєвим є той факт, що значення вихідної напруги фільтрів відповідає значенню кореляційного інтегралу тільки в момент часу t = t₀+ τ.

Схема приймача на рис. 2.8 з узгодженими фільтрами на перший погляд виглядає простішою кореляційного приймача (рис. 2.1), оскільки в ній немає опорних генераторів і не виникає проблеми забезпечення їх когерентності (узгодження по фазі із прийнятим сигналом). Однак практична реалізація фільтрового приймача має свої складності. У цьому можна переконатися, порівнявши, наприклад, епюри напруг (без врахування перешкод) на виході фільтра (рис. 2.9, б), погодженого із прямокутним радіоімпульсом (рис. 2.9, а), і на виході корелятора (рис. 2.9, в). Відзначимо, що всюди, за винятком моменту часу t = Т, напруги на виходах обох пристроїв відрізняються один від іншого.

З малюнків видно, що припустима неточність у часі зняття відліку максимуму сигналу на виході корелятора значно більше, чим при знятті відліку максимуму сигналу на виході узгодженого фільтра. Для корелятора достатньо забезпечити, щоб неточність узяття відліку була мала в порівнянні з тактовим інтервалом, а для узгодженого фільтру – у порівнянні з періодом високочастотного коливання радіоімпульсу (так званий когерентний відлік). Труднощі забезпечення когерентного відліку в узгодженому фільтрі є одного порядку з складністю реалізації когерентних опорних генераторів кореляційного приймача.

Рис.2.9. Сигнали на виході узгодженого фільтра та корелятора

Аналіз роботи УФ дозволяє зробити висновок про інваріантність узгоджених фільтрів до часу затримки прийнятого сигналу. Оскільки максимум відгуку (вихідного сигналу) фільтра відповідає моменту закінчення вхідного сигналу, то при обробці сигналів з різним часом затримки буде відбуватися тільки зсув моментів формування максимуму вихідного сигналу.

З розглянутого видно, що схеми оптимального розрізнення сигналів на основі УФ багатоканальні тільки по частоті.

2.2.3. Особливості практичної реалізації узгодженого фільтру

При практичному конструюванні узгоджених лінійних фільтрів, крім основних формул (2.20), (2.22) варто також мати на увазі умови фізичної та практичної реалізуємості фільтрів. Коли умови фізичної можливості виконуються, завдання побудови узгодженого фільтра в принципі можна вважати вирішеною.

Якщо сигнал s (t),з яким повинен бути узгоджений фільтр, починається в момент часу t ₁ та закінчується при t ≥ t ₁ + Т, то умова фізичної реалізуємості для імпульсної характеристики (2.20) виконується при t ₀ ≥ t ₁ + Т.

Тільки при цій умові буде використана вся енергія вхідного сигналу для формування найбільшого сигнального піка на виході фільтра в момент часу t ₀. Збільшення t ₀ понад t ₁ + Т, не впливаючи на величину піка, зсуває його убік більшого запізнювання, що небажано. Тому варто брати t ₀ = t ₁ + Т.

Іноді для апроксимації реальних імпульсних сигналів використають нескінченно довгі імпульси (гаусовський, експонентний і ін.). У подібних випадках доводиться штучно брати кінцеве значення тривалості апроксимуючого імпульсу, що містить основну частку енергії сигналу.

Якщо навіть узгоджений фільтр є фізично можливим, то це не означає, що даний фільтр можна реалізувати практично. Може виявитися, що для побудови такого фільтра потрібно занадто багато елементів, або ж ці елементи повинні мати характеристиками, які практично реалізувати неможливо.

У тих випадках, коли для сигналу неможливо практично реалізувати узгоджений фільтр, можна запропонувати два шляхи.

1. Для багатьох застосувань доцільно заздалегідь вибирати такі сигнали, для яких можна порівняно легко реалізувати узгоджені фільтри. Інакше кажучи, щоб забезпечити найкращий загальний результат, потрібно одночасно займатися як побудовою узгоджених фільтрів, так і підбором бажаних форм сигналів.

2. Якщо бажана форма сигналу обрана, але для нього узгоджений фільтр все-таки реалізувати не можливо, то варто використати такий із практично реалізуємих фільтрів, що забезпечує максимальне відношення сигнал-шум на виході. Щоб уникнути непорозумінь відзначимо, що при використанні сигналів з внутрішньоімпульсною модуляцією часто спеціально застосовують неузгоджені фільтри для придушення бічних «пелюстків», допускаючи деяке зменшення відношення сигнал/шум.

Можна показати, що відхилення характеристик фільтрів від формул (2.20), (2.22) у багатьох випадках не супроводжується значним зменшенням відношення сигнал/шум. Тому без істотного погіршення характеристик системи можна застосовувати замість строго узгоджених фільтрів практично легко реалізуємі фільтри, що дають приблизно ті ж результати. Такі фільтри називають квазіоптимальні.

Так, для сигналу із огинаючою у вигляду дзвону практично реалізуємим узгодженим фільтром є багатокаскадний резонансний підсилювач, амплітудно-частотна характеристика якого має форму дзвону.

В радіосистемах передачі інформації в якості квазіоптимальних використовуються лінійні фільтри, форма частотних характеристик яких заздалегідь задана а максимум відношення сигнал/шум забезпечується лише відповідним вибором ширини смуги пропускання фільтра. Для одиночного радіоімпульсу із прямокутної огинаючою близьким до узгодженого є, як показав В.І. Сифоров, смуговий фільтр з смугою пропускання Δ f = 1,37/ T, що відповідає умові максимуму вихідного відношення сигнал/ шум. Прямокутна форма його амплітудно-частотної характеристики відрізняється від узгодженої sin x / x,однак енергетичні втрати не перевершують 17% (0,8 дБ).

Таким чином, при прийманні одиночних радіоімпульсів цілком припустимо обмежитися квазіоптимальною фільтрацією. Ситуація, однак, суттєво ускладнюється, якщо інформаційні імпульси слідують один за одним з таким інтервалом, на якому перехідні процеси у квазіоптимальному фільтрі не встигають згаснути. У цих умовах якість приймання при застосуванні квазіоптимальной фільтрації різко падає, у той час як при використанні оптимального узгодженого фільтра якість залишається високою, тому що сигнал на його виході концентрується на обмеженому часовому інтервалі і в момент відліку для одного імпульсу реакція на всі попередні імпульси дорівнює нулю.

Відзначимо кілька загальних результатів. Кореляційні приймачі та узгоджені фільтри, по суті, вирішують одне й теж завдання – забезпечують на виході максимально можливе відношення сигнал/шум. Однак схемна реалізація кореляційного прийому та узгодженої фільтрації виявляється різною. На практиці вибір кореляційного прийому або узгодженої фільтрації в основному визначається простотою реалізації.

Кореляційні приймачі й, отже, узгоджені фільтри є оптимальними, коли прийом здійснюється на фоні гаусовського білого шуму, а параметри сигналу повністю відомі. Звичайно, у практичних ситуаціях ці умови не виконуються. Через причини різної природи, параметри радіосигналу, як правило, є випадковими величинами або процесами. Однак такі відхилення не виключають використання кореляційного прийому та узгоджених фільтрів як важливих елементів в пристроях оптимального розрізнення сигналів, а також у пристроях виявлення та вимірювання параметрів сигналів.