Постановка задачі оптимального розрізнення двох детермінованих сигналів

Детермінованими сигналами (сигналами з повністю відомими параметрами) називають сигнали значення яких в будь-який момент часу є відомими величинами. Сигнал, значення якого в будь-які моменти часу будуть випадковими величинами, називається випадковим.

Розподіл сигналів на детерміновані та випадкові є умовним, тому що детермінованих сигналів у точному їхньому розумінні в природі немає. На практиці не можливо заздалегідь точно передбачити значення сигналу в будь-який момент часу, у противному випадку сигнал не ніс би корисної інформації. Крім того, будь-який реальний сигнал випадковий у силу впливу на нього численних випадкових факторів.

Незважаючи на сказане, дослідження детермінованих сигналів досить важливе по двох причинах:

математичний апарат, використовуваний для аналізу детермінованих сигналів, набагато простіший апарату аналізу випадкових сигналів;

висновки, отримані в результаті досліджень детермінованих сигналів, можуть бути в багатьох випадках використані для аналізу випадкових сигналів.

Прикладами детермінованих сигналів можуть служити радіоімпульси або пачки радіоімпульсів, форма, величина та положення в часі яких відомі.

Завдання виявлення сигналу на фоні шуму є частковим випадком завдання розрізнення двох сигналів. Розглянемо завдання розрізнення двох детермінованих сигналів. При цьому будемо вважати, що сигнал s ₁(t) відображає двійковий символ "1", а сигнал s ₀(t) - символ "0".

Прийняте коливання (сигнал на вході приймача) представимо у вигляді суми одного із можливих при передачі сигналів та завади:

y (t) = As 1(t) + (1 – A) s 0(t) + n (t), 0Ј t Ј T.

(2.1)

де невідомий параметр А може приймати одне із двох значень: А = 1 (був переданий сигнал s ₁(t)) і А = 0 (був переданий сигнал s ₀(t)); s ₁(t) і s ₀(t) детерміновані сигнали, n (t) – завада з відомим законом розподілу.

Відповідно до моделі сигналу необхідно визначити, який з двох можливих сигналів був переданий. Варто відмітити, що завдання виявлення сигналу на фоні шуму є частковим випадком завдання розрізнення двох сигналів при умові, що один із сигналів відсутній.

Апріорні ймовірності присутності кожного із сигналів передбачаються відомими. По прийнятій реалізації y (t) потрібно вирішити, яке саме значення має параметр А, тобто який із сигналів s ₁(t) або s ₀(t) є присутнім у реалізації (2.1). Інакше кажучи, ставиться завдання перевірки двох гіпотез: H ₀— у реалізації y (t),
0Ј t Ј T, є присутнім s ₁(t), тобто А = 1, і Н₁ — у реалізації присутній сигнал s ₀(t), тобто Н₁ = 1. Апріорні ймовірності кожної з гіпотез вважаються відомими.

Приймач має видавати оцінку дискретного параметра , яку будемо вважати однозначно залежною від прийнятої реалізації y (t) або, як говорять, є функціоналом цієї реалізації (функціонал – число, що залежить від функції).

Оптимізації розрізнення сигналів часто передує дискретизація прийнятих коливань як функцій часу. Це дозволяє:

перейти від випадкових функцій y (t) в (2.1) до випадкових багатомірних величин y_m;

увести многомірні щільності ймовірності прийнятих реалізацій як функції багатьох змінних.

Слід відзначити, часова дискретизація є обов’язковою при переході до цифрової обробки сигналів.

Нехай кожна з функцій y (t) включає т часових дискрет. Рішення ухвалюється в цьому випадку по т -мірному вектору-рядку

Завдання приймального пристрою полягає в наступному. За результатами спостереження протягом періоду часу Т (час існування сигналів s_i (t)) за реалізацією прийнятого коливання y (t) приймач повинен найкращим чином (відповідно до обраного критерію оптимальності) визначити, який із двох можливих сигналів s ₁(t) або s ₀(t) був переданий.

Однак, по прийнятій реалізації можна лише судити про величину ймовірності того, що був переданий сигнал s ₁(t) або s ₀(t). Тому якнайбільше, що можна зажадати від приймача, – це визначити умовні ймовірності P (s ₁/ y) і P (s ₀/ y) того, що передано сигнали s ₁(t) або s ₀(t), якщо відома реалізація прийнятого коливання y (t). Таким чином, приймач повинен на основі аналізу y (t) обчислити апостеріорні (післядослідні) імовірності P (s_i / y) або щільності імовірності w (s_i / y) для прийнятого коливання y (t).

Апостеріорна щільність відповідно до теореми Байеса визначається відповідно до виразу:

.

(2.2)

Нас цікавить залежність апостеріорної ймовірності для однієї й тієї ж реалізації y (t). Тому множник 1/ w (y), що залежить тільки від y (t), може бути замінений на постійний коефіцієнт k, величина якого визначається відповідно до умов нормування.

Тоді

.

Умовна щільність імовірності w (y / s_i) = L (s_i), що розглядається як функція випадкової величини s_i при відомій реалізації y (t), називається функцією правдоподібності гіпотези про передачу сигналу s_i (t). Чим більше її значення для даної реалізації сигналу y (t), тим правдоподібніше, що передавався сигнал s_i (t), інакше кажучи, найбільше правдоподібним є таке значення i ("0" або "1"), для якого функція правдоподібності має максимальне значення.

Таким чином, рішення про те, який сигнал передавався, s ₁(t) або s ₀(t), може бути прийняте шляхом порівняння апостеріорних ймовірностей P (s ₁/ y) і P (s ₀/ y), або функцій правдоподібності L (s_i) і L (s ₀), по деякому правилу, обумовленому обраним критерієм оптимальності.