Доверительные интервалы для интерквантильного промежутка

Выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности X, образованной случайной величиной . Для этой генеральной совокупности определен (задан) симметричный относительно математического ожидания интерквантильный промежуток в соответствии с разд. 1.6.2 (см. рис. 10 а), такой, что

.

Поскольку плотность распределения генеральной совокупности нормальна,

,

и границами этого промежутка являются

и ,

где это -процентная квантиль нормальной случайной величины, дисперсия которой . Например, при P = 0,8 квантиль , при P = 0,95 квантиль .

Наша задача состоит в том, чтобы по имеющейся выборке, используя точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического значения случайной величины, определить границы доверительного интервала, который накрывает искомый интерквантильный промежуток с заданной доверительной вероятностью Q. Границы такого доверительного интервала называются толерантными пределами. Обозначим эти толерантные пределы, нижний и верхний соответственно через и . Поставленная задача будет решена, если с вероятностью, не меньшей Q, будут совместно выполняться неравенства

и .

Понятно, что расположение толерантных пределов на оси должно определяться тремя параметрами: вероятностью P, для которой определен искомый интерквантильный промежуток , объемом выборки n, по которой мы будем находить точечные оценки M [x] и , а также значением доверительной вероятности Q.

Толерантные пределы определяются с пом ощью толерантных множителей, которые зависят от перечисленных параметров и обозначаются, как . Доверительный интервал, накрывающий интерквантильный промежуток с доверительной вероятностью Q, определяется толерантными пределами (см. [6], стр. 353, а также[13,14]):

,

где .

Эти пределы называются параметрическими толерантными пределами, поскольку определяются через точечные оценки параметров плотности распределения. Они могут использоваться только для интервальной оценки интерквантильного промежутка нормальной генеральной совокупности.

Значения толерантного множителя табулированы в таблицах математической статистики (см. [13] для n 50 или [14]).

Сопоставим математическое определение генерального интерквантильного промежутка, ширина которого пропорциональна с коэффициентом пропорциональности , и доверительный интервал для него,

Таблица 3