Числовые характеристики. Моменты случайных величин определяются, как и ранее, следующими формулами

Моменты случайных величин определяются, как и ранее, следующими формулами

начальные моменты k -го порядка

,

;

центральные моменты k -го порядка:

, .

Среди этих моментов самыми употребительными являются математи­ческие ожидания

и дисперсии

, .

Математическое ожидание случайного вектора есть вектор, компонентами которого являются математические ожидания соответствующих составляющих:

.

Из условных моментов выделим лишь первые начальные (условные математические ожидания) и вторые центральные (условные дисперсии):

, ,

,

.

Как и ранее, во всех случаях

, ,

, .

Для двумерных случайных величин вводятся смешанные моменты:

начальные порядка k, r

;

центральные порядка k, r

.

Из них наиболее употребительным является центральный смешанный момент порядка (1, 1), который называется ковариацией и обозначается cov(x, h):

.

Выясним связь между этим и начальным смешанным моментом того же порядка:

.

В итоге получаем, что .

Если случайные величины x и hнезависимы, в соответствии с признаком независимости, сформулированным ранее,

= ,

то есть мы видим, что двукратный интеграл в этих условиях преобразуется в произведение однократных интегралов, каждый из которых равен 0. В самом деле,

.

Поэтому при условии независимости случайных величин x и hих первый центральный смешаный момент, или ковариация, равна 0.

При взаимно однозначной зависимости между x и h, например, линейной , ковариация

.

Это означает, что ковариация есть характеристика степени зависи­мости между случайными величинами. Для того, чтобы избавиться от масштаба значений, принимаемых случайными величинами, в качестве показателя линейной зависимости используется частное от деления ковариации на произведение среднеквадратических значений случайных величин:

.

Эта величина называется коэффициентом корреляции. Случайные величины, у которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными. Независимые случайные величины с необходимостью некоррелированы. Обратное, вообще говоря, неверно! И з некоррелированности случайных величин их независимость, вообще говоря, не следует. Это понятно хотя бы потому, что из равенства нулю центрального смешанного момента порядка (1, 1) вовсе не следует, что все центральные смешанные моменты более высоких порядков также равны нулю.

Определим максимально возможное значение коэффициента корре­ляции. Естественно предположить, что своего максимального значения коэффициент корреляции достигает при взаимно однозначной связи между x и h, например, линейной . Для этого случая нам известна ковариация междуx и h, а из разд. 1.6.5 следует, что , то есть . В результате получаем

,

а это означает, что