Понятия генеральной и выборочной дисперсий и формулы вычисления

В качестве характеристики разброса значений количественного признака X вокруг своего среднего значения используется дисперсия.

Определение. Генеральной дисперсией называют средне арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются числовой характеристикой, называемой средним квадратическим отклонением.

Определение. Генеральным средним квадратическим отклонениемназывают корень квадратный из генеральной дисперсии и обозначают в виде

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака произведена выборка объема .

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочной средней .

Если все значения признака выборки объема различны, то

.

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

.

Определение. Выборочным средним квадратическим отклонениемназывают корень квадратный из выборочной дисперсии и обозначают в виде

.

Записанные выше формулы вычисления выборочной и генеральной дисперсии можно упрости, используя следующую теорему.

Теорема. Дисперсия равна разности между средним квадратов значений признака и квадратом общей средней, то есть

, где и .

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения

Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Найдем выборочную среднюю.

.

Найти выборочную дисперсию.

.

Общая средняя уже известна .

Найдем среднюю квадратов значений признака:

.

Тогда и - это среднее отклонение от среднего значения выборки, то есть от числа .

Если в качестве оценки генеральной дисперсии использовать выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

Обе предложенные оценки - выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия – являются состоятельными оценками генеральной дисперсии, и разница между ними заметна лишь при небольшом числе наблюдений n. При n > 30 в качестве оценки для D вполне можно использовать D_в. В случае нормально распределенной генеральной совокупности обе эти оценки также являются асимптотически эффективными, т.е. при n →∞ они будут стремиться к эффективной оценке.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из исправленной дисперсии и обозначается в виде

.

Пример. Найти выборочную и исправленную дисперсии для следующего статистического распределения

Решение.

Найдем выборочную среднюю.

.

Найдем выборочную дисперсию по определению.

.

Тогда .