Лекция 4 Сложение пар

расположении нагреваемого Е_н и не нагреваемого Е₀ объемов породы

После преобразований (4.11), приняв равенство нагреваемого и ненагреваемого объемов, получаем

σ _т = а∆TЕ₀Е_н/(Е₀ + Е_н) = а∆TЕ _пр , (4.12)

или для случая объемного напряженного состояния

σ _т = γ_т ∆T К₀ К_н /(К₀ + К_н) = γ_т ∆TК _пр , (4.13)

где К₀ и К_н – модули объемного сжатия соответственно не нагретого и нагретого объемов породы;

Е _пр и К _пр – приведенные модули упругости горных пород, учитывающие изменение Е и К с нагревом, относительное расположение и величины нагретого и не нагретого объемов породы.

В связи с тем, что термические напряжения определяются произведением Еа или К γ_т, их зависимость от внутренних факторов обусловлена зависимостью модулей упругости и коэффициентов расширения от этих факторов. Например, с увеличением пористости пород термические напряжения уменьшаются.

Если весь образец породы нагреть равномерно, то в нем возможны внутренние, межзеренные термонапряжения, обусловленные различиями в упругих свойствах и коэффициентах теплового расширения отдельных минеральных зерен.

Лекция 4 Сложение пар

Так как действие пары на данное тело определяется ее моментом, то операция сложения пар должна приводиться к векторному сложению моментов этих пар.

Теорема. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар.

Доказательство. Пусть данные пары лежат в пересекающихся плоскостях I и II (рис.4.1). Возьмем на линии пересечения этих плоскостей произвольный отрезок АВ=d и приведем эти пары к одному плечу, равному АВ.

Рис.4.1.

Пользуясь тем, что пару можно переносить в ее плоскости, переместим каждую из пар в ее плоскости таким образом, чтобы их плечи совпали с отрезком АВ. После этого получим пары (F₁,F₁') и (F₂,F₂'). Пара (F₁,F₁') лежит в плоскости I, пара(F₂,F₂') лежит в плоскости II. Сложив силы F₁ и F₂, приложенные в одной точке, получим равнодействующую R. Сложив, соответственно F₁' и F₂', получим равнодействующую R'. Следовательно:

Но F₁' =- F₁ и F₂' =- F₂, следовательно: R' =- R, т.е. силы R и R' равны по модулю и противоположны по направлению и поэтому образуют пару. Таким образом, две данные пары приводятся к одной равнодействующей паре (R, R'). Теперь необходимо показать, что ее момент равен векторной сумме моментов данных пар.

Пусть моменты пар (F₁,F₁'), (F₂,F₂') и (R, R') изображаются соответственно векторами . При этом вектор перпендикулярен к плоскости I, вектор перпендикулярен к плоскости II, а вектор перпендикулярен к плоскости пары (R, R'). Так как эти три вектора перпендикулярны к прямой АВ, то они лежат в одной плоскости. Так как модуль момента пары равен произведению модуля одной из сил на плечо этой пары, то , и

Рассмотрим два треугольника АСЕ и Асе. В этих треугольниках углы САЕ и сАе равны как углы с перпендикулярными сторонами. АС ┴ Ас и АЕ ┴ Ае и стороны этих углов пропорциональны:

Отсюда следует, что треугольники АСЕ и Асе подобны. Аналогично подобны треугольники АDЕ и Аdе. Следовательно, что четырех угольник АСЕD подобен параллелограмму Асdе и потому является также параллелограммом. Таким образом, вектор равен сумме векторов и :

Ч.т.д.

Если дано несколько пар, расположенных в непараллельных плоскостях, то складывая эти пары в последовательном порядке и применяя теорему о сложении двух, пар получим в результате одну равнодействующую пару (R, R'), момент которой М равен векторной сумме моментов всех данных пар:

Момент равнодействующей пары равен по модулю и направлению замыкающей стороне многоугольника, построенного на моментах слагаемых пар.

В том случае, когда слагаемые пары лежат в параллельных плоскостях, мы можем на основании теоремы 2 перенести их в одну плоскость. В этом случае векторы моменты слагаемых пар будут направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости и будут складываться как коллинеарные векторы. Так как вершины многоугольника моментов располагаются в этом случае на одной прямой, то отсюда следует, что момент равнодействующей пары направлен по той же прямой, а его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы моментов слагаемых пар. Знак алгебраической суммы моментов слагаемых пар определяет направление вращения равнодействующей пары.

Теорема сложения пар позволяет решить вопрос об условии равновесия системы пар. Это условие можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы данные пары уравновешивались, момент М равнодействующей пары (R, R') должен равняться нулю. Это условие не только необходимо, но и достаточно.

Обозначим плечо равнодействующей пары (R, R') через d, то из равенства следует, что или R=R'=0 или d=0. В последнем случае данная система пар приводится к двум равным по модулю силам, направленным по одной прямой в противоположные стороны. Очевидно, что в обоих случаях имеет место равновесие. Но , а потому условие равновесия принимает вид

Для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма их моментов равнялась нулю или многоугольник моментов этих пар был замкнутым.