Мультиколлинеарность

Одним из основных препятствий эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность. Она связана с линейной зависимостью между аргументами х₁, х₂,..., х_k. В результате мультиколлинеарности матрица парных коэффициентов корреляции и матрица (X ^T X) становятся слабообусловленными, т.е.ихопределители близки к нулю.

Это приводит к неустойчивости оценок коэффициентов регрессии (53.12), завышению дисперсии s , оценок этих коэффициентов (53.14), так как в их выражения входит обратная матрица (X ^T X)^-1, получение которой связано с делением на определитель матрицы (Х ^T Х). Отсюда следуют заниженные значения t (b_j). Кроме того, мультиколлинеарность приводит к завышению значения множественного коэффициента корреляции.

На практике о наличии мультиколлинеарности обычно судят по матрице парных коэффициентов корреляции. Если один из элементов матрицы R больше 0,8, т.е. | r_jl | > 0,8, то считают, что имеет место мультиколлинеарность, и в уравнение регрессии следует включать один из показателей — х_j или x_l.

Чтобы избавиться от этого негативного явления, обычно используют алгоритм пошагового регрессионного анализа или строят уравнение регрессии на главных компонентах.

Пример. Построение регрессионного уравнения

Согласно данным двадцати (п = 20) сельскохозяйственных районов, требуется построить регрессионную модель урожайности на основе следующих показателей:

у — урожайность зерновых культур (ц/га);

x₁ — число колесных тракторов (приведенной мощности) на 100 га;

х₂ — число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

х₃ — число орудий поверхностной обработки почвы на 100га;

x₄ — количество удобрений, расходуемых на гектар;

х₅ — количество химических средств оздоровления растений, расходуемых на гектар.

Исходные данные для анализа приведены в табл. 53.1.

Таблица 53.1