Сызықты жуықтау арқылы орнықтылықты зерттеу

5.1. Айталық, нүктесі автономды

(1)

жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын, яғни . Осы нүктесінің кейбір аймағында функциясы екінші ретке дейін үздіксіз дифференциалдансын. Тейлор формуласы бойынша:

(2)

Мұнда , - Якоби матрицасы, оның әрбір элементі , түрінде анықталады. Ал функциясы үшін

(3)

шарты орындалады. Сондықтан, жуықтап, деп алуға болады. Егер деп белгілесек, төмендегідей сызықты жүйе аламыз:

(4)

Сызықты емес (1) жүйеден (4) жүйеге көшуді жүйені сызықтандыру деп атайды. Ол белгілі бір шешімнің аймағында орындалады.

Сызықтандырылған (4) жүйе – тұрақты коэффициентті сызықты жүйе. Ол оңай интегралданады. Сондықтан, оның теңбе-теңдік қалпының орнықтылығы толық зерттелген. Оны өткен параграфта келтірдік.

Енді осы сызықтандырылған (4) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығына қарап бастапқы сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығын анықтау мүмкіншілігін қарастырайық. Бұл жөнінде Ляпуновтың іргелі тұжырымы төмендегідей.

Теорема-1. Айталық, вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың кейбір аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы асимптотикалы орнықты және кез келген шешім үшін төмендегідей шарт орындалады:

(5)

мұнда -мейлінше аз шама.

Дәлелдеуі. Берілген (1) жүйені (2) жіктеуді пайдаланып төмендегідей түрде жазайық:

(5)

Мұндағы, - тұрақты матрица, ал функциясы (3) теңсіздікті қанағаттандырады. Өткен параграфта көрсетілгендей, кейбір - матрицасы арқылы матрицасын диагоналды дерлік түрге келтіреміз. Ол үшін алмастыруын жасасақ, жүйе мына түрге келеді:

(6)

Мұнда - диагоналды матрица, - матрицасының әрбір элементі шектелген: , ал .

Ляпунов функциясы үшін сол алдыңғы параграфта көрсетілген функцияны алайық:

(7)

Бұл функция анықталған оң таңбалы. Енді осы функцияның (6) жүйе бойынша алынған туындысын есептейік:

(8)

Мұнда және сәйкес бірінші және екінші квадрат жақшалардың ішіндегі өрнектерді білдіреді. Осындағы қосындысы сызықты

(9)

жүйе бойынша алынған туындыны білдіреді. Сондықтан §3 параграфтағы теорема-5 бойынша (онда ) деп көрсетілген):

(10)

Осы сияқты

,

Осыдан

(11)

мұндағы .

Сондықтан,

(12)

Егер кейбір аймағында деп алсақ, онда

(13)

яғни облысында функциясы анықталған теріс таңбалы мән қабылдайды және

(14)

мұндағы . Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты. (14) теңсіздіктен (5) шарты оңай шығады (§3).

Теорема-2. Айталық, вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың кейбір аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреуінің нақты бөлігі оң болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Дәлелдеуі. Айталық, меншікті санының нақты бөлігі оң болсын: . Бұл жағдайда матрицасына түрлендіруін пайдаланып, оны төменгі үшбұрышты диагоналды түрге келтірсек, соңғы теңдеу

(15)

түрінде жазылады. Осы теңдеу үшін Четаев функциясын мына түрде алайық:

(16)

Осы функцияның (15) теңдеу бойынша туындысын есептейік:

мұндағы, .

Соңғы теңдіктен

(17)

теңсіздігін аламыз. Осы (16) және (17) қатынастардан нүктесінің кейбір аймағында және болатынын көреміз. Мысалы, нүктесінде және функциялары анықталған оң таңбалы. Сондықтан, аймағы үшін облысын алсақ, жеткілікті. Егер жеткілікті аз шама болса, онда және оның ішкі шекарасында нүктесі жатыр. Четаев теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Теорема-3. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреулерінің нақты бөліктері нөлге тең болып, қалғандарының нақты бөліктері теріс болса, онда (5) жүйедегі функциясының берілуіне қарай теңбе-теңдік қалып орнықты да, орнықсыз да бола алады.Мұндай жағдайларды ерекше жағдайлар деп атайды. Олар туралы мағлұматтарды арнаулы кітабынан алуға болады.