Шешімнің орнықтылығы

2.1. Автономды теңдеулердің қалыпты жүйесінқарастырайық:

(1)

Мұндағы векторы кейбір облысында анықталған және үздіксіз дифференциалданатын функция деп есептелінеді.

Айталық, -нүктесі (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын:

(2)

ал функциясы жүйенің бастапқы

(3)

шартын қанағаттандыратыг шешім болсын.

Анықтама-1. Жүйенің теңбе-теңдік қалпы Ляпунов бойынша орнықты деп аталынады, егер:

1) кез келген саны үшін теңсіздігін

қанағаттандыратын шешім -ның барлық оң мәндерінде анықталса,

2) кез келген саны үшін саны табылып,

теңсіздігінен теңсіздігі шықса.

Анықтама-2. Теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнықты болса және қосымша

шарты орындалса.

Анықтама-3. Теңбе-теңдік қалып Ляпунов бойынша орнықсыз деп аталынады, егер қаншалықты кіші саны табылмасын, теңсіздігінен теңсіздігі шықпаса.

2.2. Бұл анықтамалардың бәріне геометриялық түсініктеме беруге болады.

Алдын ала ескерте кететін жағдай: теңбе-теңдік қалпы үшін координат жүйесінің бас нүктесін алуға болады, яғни деп алуға болады (ол үшін параллельдік көшіру жасасақ, жеткілікті).

Бұл жағдайда орнықтылықты қысқаша анықтауға болады: теңбе-теңдік қалпы Ляпунов бойынша орнықты деп аталынады, егер кез келген саны үшін кейбір саны табылып, мынандай теңсіздіктер орындалса:

(4)

Ал асимптотикалық орнықты болу үшін қосымша

(5)

шарты орындалуы керек.

Соңғы теңсіздіктерге төмендегідей геометриялық түсініктеме беруге болады.

Фазалық кеңістігінде центрлері координат жүйесінің басында жатқан радиустері сәйкес және сандарына тең центрлес сфералар жүргізейік. Бұлардың радиустері әртүрлі қатынаста болуы мүмкін. Айқын болуы үшін болсын. Сонда орнықты дегеніміз – радиусы -ға тең сфераның ішінен басталған траектория радиусы -ге тең сфераның ішінен шықпайды дегенді білдіреді. Ал асимптотикалық орнықты дегеніміз – радиусы сол -ға тең сфераның ішінен басталған траектория -ның мәні өскен сайын координат жүйесінің бас нүктесіне шексіз жақындайды дегенді білдіреді. Орнықсыздық дегеніміз – қаншалықты кіші мәнді саны табылмасын, кіші сфераның ішінен басталған траектория белгілі бір мезеттен бастап үлкен сфераның сыртына шығады дегенді білдіреді.