Ысқаша мазмұны

Шешімнің бар болуы және жалғыздығы

6.1. Бұл параграфта туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы қарастырылады.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық:

, (1)

мұндағы, функциясы жазықтықтағы кейбір тұйық облысында анықталсын. Осы теңдеу үшін бастапқы

(2)

шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын. Бұл жерде нүктесі сол облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал облысын, әдетте, төртбұрыш түрінде алады:

(3)

мұндағы, және - белгілі оң сандар.

Теорема-1. Егер функциясы облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

1) екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

2) аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

(4)

теңсіздігі орындалады, , онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын, аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешім бар болады.