Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

2.1. Берілген теңдеудің шешімін сол теңдеуге кіретін функциялар және олардың интегралы түрінде өрнектеуді теңдеуді квадратура арқылы интегралдау деп атайды. Бұл параграфта кейбір оңай интегралданатын теңдеулердің түрлерін келтірейік.

1⁰. Теңдеудің оң жағы белгісіз функцияға тәуелсіз:

(1)

Мұнда f(x) функциясы берілген, <a,b> аралығында үздіксіз деп есептелінеді. Бұл теңдеудің жалпы шешімін табу үшін одан анықталмаған интеграл алсақ жеткілікті:

(2)

Бұл өрнек Коши түрінде былай жазылады:

(3)

Мұнда х₀ – берілген сан деп, у₀ – кез келген сан деп есептелінеді.

2⁰. Теңдеудің оң жағы белгісіз функцияға ғана тәуелді:

(4)

Мұнда f(y) функциясы кейбір <с,d> аралығында үздіксіз деп есептелінеді және осы аралықта нөлге айналмасын. Онда бұл теңдеуді аударып жазуға болады:

(5)

Соңғы теңдеудің жалпы шешімін табу үшін оның екі жағын dy -ке көбейтіп, анықталмаған интеграл алсақ жеткілікті:

(6)

немесе Коши түрінде:

(7)

Мұнда у₀ – тұрақты сан деп, ал х₀ – кез келген сан деп есептелінеді.

3⁰. Жоғарыда келтірілген теңдеулер айнымалылары ажырайтын теңдеулер қатарына жатады. Мұндай теңдеулердің жалпы түрі былай жазылады:

(8)

Осы теңдеуде f₂(y) және f₃(x) функциялары берілген облыста нөлге тең болмаса, онда теңдеудің екі жағын f₂(y)·f₃(x) көбейтіндісіне бөлсек, мынандай қатынас аламыз:

(9)

Бұл келтіру айнымалыларды ажырату тәсілі деп аталады. Жалпы, айнымалыларды ажырату деп dx -тың алдында тек х -қа тәуелді, ал dy -тың алдында тек у -ке тәуелді функциялардың тұруын қамтамасыз етуді айтады.

Соңғы теңдеудің жалпы шешімін табу үшін екі жағынан анықтaлмaған интеграл алсақ жеткілікті:

(10)

немесе Коши түрінде:

(11)

4⁰. Айнымалылары ажырайтын теңдеулер қатарына басқа да теңдеулерді жатқызуға болады. Олар кейбір алмастырулар арқылы оңай интегралданады. Солардың бірі:

(12)

түріндегі теңдеулердің алмастыруы арқылы айнымалылары оңай бөлінеді. Шынында да, соңғы алмастырудан туынды тауып, теңдеуге қоятын болсақ, мынандай қатынастар аламыз:

немесе

Соңғы қатынастан:

,

яғни айнымалылар бөлінді. Осыдан интеграл алсақ, онда жалпы интегралды мына түрде жазуға болады:

(13)