Анализ временных рядов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания[1].

Простейший подход – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной модели или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

У= Т+S+Е (5.5)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так

У= Т*S*Е (5.6)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагают постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной модели и мультипликативной модели сводится к расчету значений Т, S, Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной модели или (Т*Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (T*S)

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.