Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

В прогнозных расчётах по уравнению регрессии определяется то, что уравнение не является реальным, для есть ещё стандартная ошибка . Поэтому интервальная оценка прогнозного значения

Выразим из уравнения

, то есть стандартная ошибка зависит и ошибки коэффициента регрессии b,

.

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы , получим формулу расчёта ошибки среднего значения переменной y: .

Ошибка коэффициента регрессии: .

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется уравнение как точечный прогноз при , то есть путём подстановки в уравнение регрессии . Однако точечный прогноз явно нереален.

- формула стандартной ошибки предсказываемого значения y при заданных , характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , достигает min при , и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. То есть чем больше разность между и x, тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения .

Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак - фактор x находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от .

Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении ЛР, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости то того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. Доверит. интервалы при .

На графике доверительной границы представляет собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

Две гиперболы по обе стороны от ЛР определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения y при заданном значении x.

Однако фактические значения y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения y могут отклоняться от на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения y должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит:

.

При прогнозировании на основе УР следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения y, но и от точности прогноза значений фактора x.

Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака y() может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезы развития событий.

Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР). Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов.

Парная регрессия используется при моделировании, если влияние других факторов, воздействующих на объект исследования можно пренебречь.

Например, при построении модели потребления того или иного товара от дохода исследователь предполагает, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи, ее состав. Однако, уверенности в справедливости данного утверждения нет.

Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента – метод, который используется в естественно-научных исследованиях. Экономист лишен возможности регулировать другие факторы. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т.е. не удается обеспечить равенство прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора.

Как поступить в этом случае? Надо выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.

такого рода уравнения используется при изучении потребления.

Коэффициенты b_j – частные производные у по факторами х_i

при условии, что все остальные х_i = const

Рассмотрим современную потребительскую функцию (впервые 30е годы предложил Кейнс Дж.М.) как модель вида С = f(y,P,M,Z)

c- потребление. у – доход

P – цена, индекс стоимости.

M – наличные деньги

Z – ликвидные активы

При этом

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства, в макроэкономических вопросах и других вопросах эконометрики.

В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого их них в отдельности, а также совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Она включает в себя 2 круга вопросов:

1. отбор факторов

2. выбор уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Требования к факторам, включаемым во множественную регрессию

1. они должны быть количественно измеримы, если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости: районы должны быть проранжированы).

2. факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R_уx1<R_x1x2 для зависимости может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются интерпретируемыми.

В уравнение предполагается, что факторы х₁ и х₂ независимы друг от друга, r_х1х2 = 0, тогда параметр b1 измеряет силу влияния фактора х₁ на результат у при неизменном значении фактора х₂. Если r_х1х2 =1, то с изменением фактора х₁ фактор х₂ не может оставаться неизменным. Отсюда b₁ и b₂ нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния х₁ и х₂ и на у.

Пример, рассмотрим регрессию себестоимости единицы продукции у (руб.) от заработной платы работника х (руб.) и производительности труда z (ед. в час).

у = 22600 - 5x - 10z + e

коэффициент b₂ = -10, показывает, что с ростом производительности труда на 1 ед. себестоимость единицы продукции снижается на 10 руб. при постоянном уровне оплаты.

Вместе с тем параметр при х нельзя интерпретировать как снижение себестоимости единицы продукции за счет роста заработной платы. Отрицательное значение коэффициента регрессии при переменной х обусловлено высокой корреляцией между х и z (r_хz = 0,95). Поэтому роста заработной платы при неизменности производительности труда (не учитывая инфляции) быть не может.

Включенные во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строиться модель с набором р факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации R², которая фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии р факторов. Влияние других неучтенных в модели факторов оценивается как 1-R² c соответствующей остаточной дисперсией S².

При дополнительном включении в регрессию р+1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшается.

R²_p+1>= R²_p и S²_p+1 <= S²_p

Если же этого не происходит и данные показатели практически мало отличаются друг от друга, то включенный в анализ фактор x_р+1 не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Если для регрессии, включающей 5 факторов R² = 0,857, и включенный 6 дало R² = 0,858, то нецелесообразно включать в модель этот фактор.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической не значимости параметров регрессии по критерию t-Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости.

Отбор факторов производиться на основе теоретико-экономического анализа. Однако, он часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов осуществляется в две стадии:

на первой – подбирают факторы, исходя из сущности проблемы.

на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют t-статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркоррелиции (т.е. корреляция между объясняющими переменными) позволяют исключить из моделей дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если r_хiхj >=0.7.

Поскольку одним из условий построения уравнения множественной регрессии является независимость действия факторов, т.е. Rх_ix_j = 0, коллинеарность факторов нарушает это условие. Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции при изучении зависимости у = f(x, z, v)

	y	x	z	v
y
x	0,8
z	0,7	0,8
v	0,6	0,5	0,2

Очевидно, факторы x и z дублируют друг друга. В анализ целесообразно включит фактор z, а не х, так как корреляция z с у слабее чем корреляция фактора х с у (r_уz < r_ух), но зато слабее межфакторная корреляция (r_zv< r_хv)

Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включает факторы z и v

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Но наиболее трудности возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарности факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью МНК.

Если рассмотренная регрессия у = a + bx + cx + dv + e, то для расчета параметров, применяется МНК

S_y = S_факт +S_e

или = +

общая сумма = факторная + остаточная