Объективно обусловленные оценки и их смысл

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными (двойственными) оценками исходной задачи. Академик Л. В. Канторович назвал их объективно обусловленными оценками.

Для выяснения смысла этих оценок вернемся к задаче I об использовании ресурсов и двойственной ей задаче II (см. пример 6.2). Компоненты оптимальных решений этих задач, приведенные в примере 6.5, даны в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Компоненты оптимального решения исходной задачи I
Число единиц продукции	Остатки ресурсов, единиц
Превышение затрата на ресурсы над ценой реализации	Объективно обусловленные оценки ресурсов (условные цены ресурсов)
Компоненты оптимального решения двойственной задачи II

В табл. 6.2 дополнительные переменные исходной задачи I, х ₃, х ₄, x ₅, х ₆, представляющие согласно выражению (6.15) разность между запасами b ₁, ресурсов S ₁, S ₂, S ₃, S ₄и их потреблением, выражают остатки ресурсов, а дополнительные переменные двойственной задачи II у ₅, у ₆, представляющие в соответствии с выражением (6.16) разность между затратами на ресурсы для производства из них единицы продукции и ценами c_j продукции Р ₁, Р ₂выражают превышение затрат над ценой.

Ресурсы S ₁, S ₂по оптимальному плану полностью использованы () и объективно обусловленные оценки этих ресурсов ненулевые . Ресурсы S ₃, S ₄не полностью используются в оптимальном плане ()и объективно обусловленные оценки этих ресурсов нулевые .

Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные — нулевые оценки.

По оптимальному плану в исходной задаче следует производить оба вида продукции () и превышение затрат на ресурсы над ценой реализации равно нулю . Если бы затраты на ресурсы превышали цену изготавливаемой из них продукции, например, продукции Р ₂,т.е. если бы , то на основании теоремы 6.1 оптимальное значение соответствующей переменой , и в этом случае по оптимальному плану производить продукцию P ₂не следует.

Итак, в оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции (правда, критерий рентабельности здесь своеобразный: цена продукции не превышает затраты на потребляемые при ее изготовлении ресурсы, а в точности равна им).

Для выяснения того, что показывают численные значения объективно обусловленных оценок ресурсов, докажем следующую теорему.

Третья теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задач равны значениям частных производных линейной функции по соответствующим аргументам, т.е. .

Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Пример 6.7. В задаче I примера 6.2 пояснить смысл значений объективно обусловленных оценок ресурсов.

Решение. В примере 6.5 получены объективно обусловленные оценки ресурсов , т.е. при увеличении (уменьшении) запаса ресурсов S ₁или S ₂ на 1 единицу максимальная прибыль (выручка) увеличится (уменьшится) соответственно на 4/5 и 3/5 руб., а при изменении запаса ресурсов S ₃ или S ₄ не изменится.

Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.

Пример 6.8. В задаче 1 примера 6.2, в которой получен оптимальный план выпуска продукции P ₁и Р ₂появилась возможность выпуска еще одного вида продукции Р ₃. Затраты на единицу продукции Р ₃ составляют: а ₁₃ = 3 единицы ресурса S ₁, a ₂₃ = 2единицы S ₂, a ₃₃ = 4 единицы S ₃и a ₄₃ ⁼ 1 единица ресурса S ₄; цена единицы продукции Р ₃ равна с ₃ = 3 руб. Установить, даст ли прибыль включение в план выпуска дополнительно продукции Р ₃? Какой должна быть прибыль от единицы продукции Р ₃ (цена), чтобы ее производство было рентабельным?

Решение. Можно включить в условия задачи продукцию Р ₃ и заново решить задачу, однако это потребует новых затрат (трудовых, стоимостных, временных). Но необходимости в этом нет, так как известны объективно обусловленные оценки ресурсов. Действительно, сопоставим дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции рз с ценой ее реализации. Первая величина, равная

руб., больше цены продукции с ₃ = 3 руб., следовательно, выпуск продукции Р ₃ не следует включать в оптимальный план, и отпадает необходимость повторного решения задачи в изменившихся условиях. А чтобы производство продукции Р₃ стало рентабельным, очевидно, ее цена должна составлять не менее 3,6 руб.

Объективно обусловленные оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приведет к невозможности их использования для анализа эффективности производства.

Пример 6.9. Для задачи I в примере 6.2 найти интервалы устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к изменениям запасов ресурсов каждого вида. Изменятся ли эти оценки, если увеличить запасы каждого из ресурсов на 10 единиц: а) в отдельности; б) одновременно? Найти соответствующее изменение максимальной прибыли (выручки) от реализации продукции.

Решение. Предположим, что запасы ресурсов S ₁, S ₂, S ₃, S ₄равные первоначально 18, 16, 5 и 21 единице, изменились соответственно на величины , , и . Тогда затраты на ресурсы в соответствии с выражением (6.4) составят

Заменяя переменные у ₁и y ₂ их выражениями через неосновные переменные оптимального решения ( ), получим после преобразований

(6.24)

В случае, если = = = =0, т.е. запасы ресурсов равны первоначальным значениям, получилось бы знакомое выражение линейной функции Z через неосновные переменные оптимального решения. Для того, чтобы объективно обусловленные оценки ресурсов остались неизменными и при изменении запасов ресурсов, т.е. сохранилось оптимальное решение двойственной задачи =(4/5;3/5;0;0;0;0), достаточно, чтобы коэффициенты при неосновных переменных в выражении (6.24) оставались неотрицательными, т.е.

(6.25)

Предположим, что изменяется только запас ресурса S ₁, а остальные запасы ресурсов остаются неизменными: = = =0. Тогда из выражения (6.25) получим, что

и , откуда

и или , т.е. при неизменности объективно обусловленных оценок ресурсов запас ресурса S ₁может изменяться в пределах от 13 до 20,5 единиц. Аналогично можно получить, что . Таким образом, при изменении запаса только одного из ресурсов S ₁в пределах от 13 до 20,5 единиц или, S ₂ в пределах от 11 до единицы, или S ₃ в пределах не менее 4 единиц, или S ₄, в пределах не менее 18 единиц оптимальное решение двойственной задачи остается прежним, т.е. = (4/5;3/5;0;0;0;0).

Из изложенного ясно, что увеличение на 10 единиц в отдельности запаса ресурса S ₁(равного 18 единицам) или S ₂ (16 единиц) приведет к изменению их объективно обусловленных оценок, а запаса ресурса S ₃ (5 единиц) или S ₄ (21 единица) оставит оценки этих ресурсов прежними (равными нулю). В результате с помощью полученных оптимальных оценок ресурсов невозможно найти соответствующее изменение максимальной прибыли (выручки) .

Если запасы ресурсов изменяются одновременно, то исследование устойчивости объективно обусловленных оценок усложняется, поскольку в данном случае нужно найти многогранник решений системы неравенств (6.25). Однако всегда можно проверить, удовлетворяют ли конкретные изменения запасов ресурсов системе (6.25). Так, в нашей задаче при одновременном увеличении запасов всех ресурсов на 10 единиц, т.е. при = = = =10 все неравенства системы (6.25) справедливы, следовательно, оптимальное решение двойственной задачи остается прежним, т.е. =(4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0). Поэтому изменение максимальной прибыли (выручки) с учетом выражения (6.23) составит

По соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые замены в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.

Пример 6.10. По условию задачи I в примере 6.2 определить нормы заменяемости ресурсов S ₁и S ₂, при осуществлении которых сохранится максимальная прибыль (выручка) от продукции.

Решение. Составим отношение объективно обусловленных оценок ресурсов S ₁и S ₂, т.е. , т.е. для максимизации общей прибыли (выручки) каждые дополнительные 3 единицы ресурса S ₁эквивалентны дополнительным 4 единицам ресурса S ₂ [вывод верен в пределах устойчивости двойственных оценок, когда изменения запасов ресурсов , , а также , удовлетворяют системе (6.25)].

Пример 6.11. Решить задачу I в примере 6.2 при изменениях запасов ресурсов =-2, =1, =5, =19, используя (если это возможно) двойственные оценки ресурсов.

Решение. Так как изменения запасов ресурсов =-2, =1, =5, =19 находятся в пределах устойчивости двойственных оценок [они удовлетворяют системе (6.25)], то решение двойственной задачи останется тем же: = (4/5;3/5;0;0;0;0). На основании теоремы 6.1 и соответствия (6.14) положительным значениям переменных оптимального решения двойственной задачи соответствуют нулевые значения переменных исходной задачи: х ₃ = 0, x ₄ = 0. Поэтому остальные компоненты оптимального решения исходной задачи можно найти непосредственно из ее системы ограничений, в которой x ₃ = 0, х ₄ =0, а в правых частях указаны новые запасы ресурсов: :

откуда х ₁ = 7, х ₂ = 3, х ₅ = 7, х ₇ = 19. Соответствующее значение максимума линейной функции. F_max = + =23. Итак, максимальный размер прибыли (выручки) составит = 23 руб. при оптимальном плане производства .