Обучение сравнению группы предметов и чисел

Сравнение двух или нескольких множеств предметов путем поэле­ментного соотнесения имеет место и в работе с детьми 5—6 лет. Оно помогает вычленить способ получения следующего и предыдуще­го числа, одного и того же числа двумя путями (3 — это 2+1 или 4 — 1), а также убедить детей в равенстве или неравенстве множеств по числу предметов. Поэтому все известные детям спо­собы сравнения: наложение, приложение (по рядам и столбцам), составление пар, соединение предметов линиями, применение экви­валентов — следует использовать и в обучении детей старшего до­школьного возраста.

Особое внимание нужно обратить на обнаружение соответствия или ^несоответствия с помощью попарного соединения предметов линиями и применения предметов-заместителей (эквивалентов). Это способствует не только развитию умений обобщать знания и спо­собы действий, но и формированию абстрактных форм мышления.

В ходе упражнений на установление соответствия с помощью линий реальные предметы, их изображения (по договоренности с детьми), заменяют условными обозначениями (кукол —- точками, открытки — квадратами) и отделяют одни от других замкнутой ли­нией. В одном круге рисуют точки, в другом — квадратики. С по­мощью линии или стрелок выясняется, получит ли каждая кукла открытку или нет, чего будет больше (меньше).

Для сравнения двух множеств, отличающихся на один или не­сколько элементов, используются предметы-эквиваленты, из сопо­ставления которых делается вывод о количественной стороне пер­вого и второго множества. Этот прием удобен, когда невозмож­но непосредственно соотносить предметы по количеству, при изме­рении.

В качестве эквивалентов используются фишки, косточки на сче­тах и др. Таким образом можно определить равенство или неравен­ство числа окон в групповой комнате и музыкальном зале. Вна­чале определяют число окон в зале и откладывают на верхней полоске наборного полотна (или счетах) такое же число фишек, а после считают количество окон в группе и откладывают на ниж­ней полоске наборного полотна соответствующее число фишек. Сравнивают числа, делают вывод. Различия в количестве 2, 3 отме­чаются как более значительные, чем в 1, и определяются как «намно­го больше», «на несколько больше». Педагог вопросами уточняет способ сравнения, определение одной совокупности, как большей или меньшей в сравнении с другой. Допустимо сравнение фишек (опосредованным путем) и без предварительного счета предметов. В этих случаях количество фишек фиксируется на основе срав­нения: сколько окон, столько и фишек.

Уравнивание совокупностей по числу предметов дети старшей группы осуществляют обычно двумя способами: путем увеличения или уменьшения на единицу. Уравнивание по числу возможно только на основе счета и сравнения. Сначала сравниваются две сово­купности (по 6 и 7 предметов), выясняется, что число 7 больше, чем 6, а б меньше, чем 7, и каковы разностные отношения между данными смежными числами.

Педагог поясняет, что возможно уравнивание по большему числу, тогда необходимо к меньшему числу 6 прибавить единицу, и получим большее число (такое же, столько же, сколько было до увеличения в большей совокупности), т. е. уравниваются со­вокупности по числу. Уравнивание по меньшему числу состоит в уменьшении большего числа 7 на единицу.

При сравнении групп, отличающихся числом предметов больше, чем "на единицу, уравнивание осуществляется путем отсчета из большей группы того же количества предметов, которое содержится в меньшей. Предметы раскладываются попарно, определяется коли­чество их в меньшей группе и такое же количество отсчитывается | из большей. Сравнение групп с разницей в 2—3 предмета спо­собствует более глубокому осмыслению отношений «на сколько».

В разных условиях сравниваются не. только по две совокупности, но и по 3—4 (мишек угощают конфетами, а затем пряниками). Группы предметов могут быть равными и неравными по количеству. Сравнивается первая совокупность со второй (мишек и конфет поровну, по 5), затем — вторая с третьей (конфет раз­дали столько же, сколько и пряников) и делается вывод о равночисленное™ трех групп предметов (дочисловое сравнение и обобщение по числу).

Дети старшей группы более самостоятельны в суждениях о равен­стве по числу при условии пересчета одной из групп предметов, приведенных в однозначное соответствие.

— Мы видим, что конфет столько же, сколько мишек, а пря­ников столько, сколько конфет. Можем ли, не считая, сказать, сколько конфет, если мишек 5? А пряников сколько?

При сравнении двух-трех неравных групп с отличием на единицу дети подводятся к суждению о том, что если одна из сравниваемых групп по численности больше, то вторая будет меньше. Осуществля­ется перенос этой зависимости и на числа: если число 3 меньше 4, то 4 больше 3.

В старшей группе сравниваются между собой 3—4 числа: 1, % 3; 3, 4, 5; 5, 6, 7 и т. д., что позволяет формировать представление о направленности ряда чисел, способах образования смежных дан­ному (3) чисел (2 и 4), образования какого-либо числа (5) двумя способами (4 + 1, 6—1). Решению этих же задач способствует использование таких приемов, как «числовая лесенка» (построение, зарисовка, составление), нахождение «соседних» чисел к на­званному, чисел больше (меньше) на 1 названного и др. Дети учатся выражать отношения между числами в речи: «Восемь больше семи на единицу»; «Восемь больше семи»; «Число 8 больше числа 7»; «8 больше, а 7 меньше».

Здесь уместно проводить работу по формированию простейших представлений о свойстве транзитивности отношений «меньше» и «больше»: «если 1 <2 и 2<;3,.то^:1*^3», «если 3>2 и 2> 1, то 3>1». Важно при обучении формировать умение видеть постоянство (сохранение) количества, состав чисел из единиц, порядок сче­та, разбиение совокупностей на группы.

Дети старшего дошкольного возраста иногда заменяют коли­чественную оценку множества непосредственным восприятием. Со­вокупность воспринимают как большую в зависимости от расположе­ния, места, занимаемого предметами, и других несущественных признаков. Поэтому следует убедить детей в том, что количество (число) не зависит от внешних свойств сравниваемых объектов, оно постоянно в определенных условиях.

Частично решить эту задачу возможно через разнообразие пред­метов, используемых при счете, сравнении, обобщении по числу: составлять совокупности из разнородных предметов, раскладывать их в пространстве с разной степенью плотности ряда, считать и сравнивать предметы окружающей обстановки и т. д. Во время занятия необходимо варьировать задания, способы расположения, сравнения, изменять количество предметов, развивая этим у детей гибкость и подвижность мысли.

В ходе упражнений педагог создает проблемную ситуацию, пред­лагает детям найти самый удобный в данном случае способ доказательства равенства или неравенства, изменить форму расположения предметов по определенным заданным им условиям, собственному замыслу, зарисовать и графически выразить отношения групп (ли­нией, стрелкой).

Упражнения, формирующие умения видеть постоянство коли­чества, сочетаются с показом независимости итогового числа от направления счета, начальной точки. Для этого полезно использо­вание таблиц, счетных карточек и числовых фигур, воспроизве­дение определенных количеств, выполнение поручений. Такие упраж­нения заканчиваются обобщением ряда множеств по числу с вы­делением различий, или, наоборот, подчеркивается неравенство групп и кажущиеся различия в них.

На данном этапе обучения педагог поощряет быстроту умения считать на основе длительного восприятия, «схватывание» неболь­ших количеств: в пределах 2—3 предметов без счета, удержание чисел в памяти, самостоятельность и инициативу детей.

К суждению о независимости количества предметов от их внеш­них признаков педагог подводит детей вопросами, подчеркивает роль счета и поэлементного сопоставления в определении равенства или неравенства множеств.

В старшей группе дети осваивают количественный состав чисел в пределах 5 из единиц. Эта работа проводится на предметных мно­жествах. Берется множество разнородных предметов и отмечается его состав: один мишка, одна кукла, один заяц — все три игрушки. После перечисления делается переход к составу числа: число 3 со­стоит из трех единиц: одна, еще одна и еще одна. Такие упраж­нения раскрывают детям количественный состав чисел из единиц, а отсюда и отношение: «число— единица» (количество единиц определяется числом, и наоборот). Знание количественного состава способствует осмыслению и пониманию детьми места числа в на­туральном ряду, является подготовкой к вычислительной деятель­ности.,

Занятия следует строить так, чтобы дети активно участвовали в составлении чисел с опорой на наглядный материал, отвечали на вопросы, делали обобщения.

Педагог указывает на набор игрушек, фигур (круги разных цветов, разные фигуры) и предлагает взять из них три так, чтобы не было одинаковых предметов: «Отсчитайте три разные игрушки. Возьмите три треугольника разного цвета». Затем анализируется состав этого множества и делается вывод о составе числа: «Сколь­ко всего треугольников? По скольку взято треугольников каждого цвета? Сколько треугольников разного цвета вы взяли, чтобы их стало три? Из скольких единиц состоит число 3? (Показываются предметы.) Значит, число 3 состоит из трех единиц (одна, еще одна и еще одна). Сколько возьмете предметов, если я назову число 3?».

Затем дается задание взять четыре неповторяющихся по призна­кам предмета. Выложенные на наборном полотне группы сохраняют­ся и служат наглядной основой для различения чисел по составу. Упражнения и материал варьируются.

По мере усвоения состава чисел из единиц в условиях прак­тических действий с разнородным материалом детям предлагают выполнить аналогичные упражнения на однородном материале, определять количество мерок перечислением их по одной, устно называть и перечислять состав числа.

Детей пяти лет продолжают учить различать числа по их количественному и порядковому значению, находить ответы на вопросы «сколько?» и «который?» адекватными действиями, использовать в речи порядковые числительные, знать их назначение.

Детей учат считать предметы по порядку в пределах 10 со сменой направления счета. Считают по порядку слева направо, справа налево в зависимости от за­данных условий (направление движения, предметный ориентир, практическая не­обходимость).

В процессе обучения порядковому счету используется различный наглядный материал: объекты, расположенные в порядке убывания или возрастания по вели^ чине, отличающиеся по качественным признакам, однородные. Одно и то же мно­жество предметов упорядочивают по различным отношениям порядка.

Вопросы педагога направляют внимание детей на выделение признаков пред­метов, порядка следования, общего количества: «Который?» «Какой по счету?», «Кто?», «Какого цвета?», «Сколько?».

Воспитатель создает ситуации, в которых есть необходимость определения порядка следования: дети идут на прогулку, возвращаются с прогулки в другой последо­вательности; сопоставляя общее количество кукол и подарков для них, определяют, что получила в подарок шестая кукла, сколько всего подарков роздано, которая кукла получила в подарок конфету и т. д. В дальнейшем определяют порядок распо­ложения рядов и столбцов в сериационном ряду, «числовой лесенке», порядок следования дней недели.

По мере освоения порядкового счета проводятся упражнения на однородном материале: «Какой по счету этот (воспитатель указывает) мишка? Покажи седь­мого мишку. Надень шапку на пятого» и др.

Обучение порядковому счету основано на дифференцировке количественного и порядкового значения чисел и практического использования их, исходя из ситуации.

С целью подготовки детей к счету групп, арифметическим дей­ствиям, познанию зависимости между целым и частью проводятся упражнения в делении совокупностей (из 4, 6, 8, 9, 10 предме­тов) на группы по 2, 3, 4, 5 предметов. При этом определяется общее количество предметов, групп, предметов в каждой группе, зависимость между количеством групп и предметов в. них.

Упражнениям придается игровой характер: распределить само­леты по звеньям, предметы парами, разложить яблоки в вазы, ма­шины расставить в гаражи и т. д. Дети делят совокупности на груп­пы, ориентируясь при этом на дополнительные признаки (цвет, раз­мер, назначение). На одном и том же занятии меняется количество групп, на которое делится совокупность, фиксируются ведущие к этому изменения — количество предметов в каждой из групп: «Сколь­ко всего кругов? (Восемь.) На сколько групп можно разделить их? (На две, четыре.) Сколько групп получили? (Четыре.) По скольку предметов в каждой группе? (По два.) По скольку кругов будет в группе, если разделим круги на две группы? (По четыре.) Почему при делении на две группы в каждой из них по четыре предмета, а при делении на четыре группы — по два?»

Педагог, обобщая ответы детей, помогает им сформулировать функциональную зависимость между количеством групп и пред­метов в них.

В старшей группе дети учатся делить целое (геометрические фигуры, предметы) на равные части. Это необходимо в качестве пропедевтики к усвоению долей и дробных чисел в школе, углубления понимания детьми элементарных математических отношений: «боль­ше», «меньше», «равны».

Обучение строится на общих и функциональных зависимостях целого и части: часть всегда меньше целого, а целое больше части; равенство частей целого между собой; функциональная зависи­мость между количеством и размером частей: чем больше коли­чество частей, на которое делится целое, тем меньше каждая часть, и, наоборот, чем больше часть, тем на меньшее количество частей разделено целое.

Деление целого на части осуществляется практически путем складывания с последующим разрезанием или путем разрезания.

Освоение детьми способов деления целого на равные части и отношения «целое — часть» способствует углублению понимания ими единицы. Слово один они относят к разным величинам: целому, то к его части, причем разного размера.

Обучение делению целого на части осуществляется с учетом осо­бенностей понимания детьми отношения «целое — часть». К старше­му дошкольному возрасту у детей накапливается опыт деления целого на части (в играх, конструировании, быту). У них склады­вается бытовое понимание целого как неделимого и восприятие аждой части целого как нового, самостоятельного объекта.

Задачи обучения состоят в следующем:

—научить детей делить предмет на две, четыре равные части путем разрезания или последовательного складывания плоских

редметов пополам;

— сформировать представление о зависимости целого и части, меть воспринимать как целое, не только неразделенный предмет, но и воссозданный из частей;

- упражнять в способе сравнения частей, полученных при де­лении целого на равные части, путем наложения, уточнить зна­чение слова равенство;

- способствовать развитию самостоятельности мышления, со­образительности, упражнять детей в нахождении новых способов деления, выявления зависимостей.

В ходе обучения у детей формируется понимание половины как части целого, деленного на две равные части, четверти — на четыре равные части. Они учатся выражать в речи способ деления, складывания, соотношение частей.

Вначале детей знакомят со способами деления целого на равные части (две и четыре) путем сгибания без разрезания, что дает возможность обнаружить части внутри целого, их количество и соот­ношение с целым, каждая из частей меньше целого, целое больше части. С этой целью берутся плоские предметы: круги, полоски бу-_маги, шнуры, тесьма и др.

Детям свойственно определять полученные в результате реше­ния части, пользуясь названиями геометрических фигур (квадраты, треугольники), а не признаком формы. Они не выделяют форму частей: части квадратной, треугольной формы. Слово часть в своей речи они заменяют названиями геометрических фигур. Предупрежде­нию данной ошибки и упражнению в употреблении слов часть, часть целого, половина, четверть способствуют упражнения на деление таких предметов, когда в результате получаются части, не имеющие прямого сходства с геометрическими фигурами.

В процессе деления путем складывания дети убеждаются в том, что одноразовое перегибание листа бумаги ведет к получе­нию двух равных частей, двухразовое — четырех.

В дальнейшем педагог упражняет детей в делении путем скла­дывания с разрезанием и последующим склеиванием частей для воссоздания целого. С целью уточнения зависимостей целого и ча­стей используется прием деления на равные и неравные части и воссоздания целого из них. Педагог, указывая на часть, спрашивает детей, можно ли ее назвать частью целого: половиной, одной четвертой частью, предлагает использовать практические приемы для убеждения в этом: наложение частей, воссоздание целого.

Дети, обучаясь делению предметов (яблока, пряника) в бытовых для них ситуациях на равные и неравные части путем разреза­ния, уточняют, что только при делении на равные части каждую из них можно назвать долей. В игровой ситуации при соблюдении требований к делению каждый из участников получает предназна­ченную ему долю целого предмета.

Итак, количественные представления у детей 5—б лет, сформи­рованные под влиянием обучения, носят более обобщенный харак­тер, чем в средней группе. Дошкольники пересчитывают предметы независимо от их внешних признаков, обобщают по числу. У них накапливается опыт счета отдельных предметов, групп, использова­ния условных мерок.

Усвоенные детьми умения сравнивать числа на наглядной ос­нове, уравнивать группы предметов по числу свидетельствуют о сформированное™ у них представлений об отношениях между чис­лами натурального ряда.

Счет, сравнение, измерение, элементарные действия над числами (уменьшение, увеличение на единицу) становятся доступными детям в разных видах их учебной и самостоятельной деятельности.