![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи должен выполняться баланс мощностей: мощность, генерируемая источниками, равна мощности потребляемой всеми приемниками.Уравнение баланса мощностей при питании только от источника ЭДС имеет вид
. (12)
Если направление тока I в ветви совпадает с направлением ЭДС, то произведение Е∙I входит в уравнение (12) со знакос плюс, в противном случае – со знаком минус.
Пример 1.
Для схемы, изображенной на рис. 3, выполнить следующее:
1. Составить системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.
2. Составить уравнения методом узловых потенциалов и методом контурных токов.
3. Определить токи в ветвях схемы, решив уравнения, составленные в п.2.
4. Составить баланс мощностей.
5. Построить потенциальную диаграмму для контура, содержащего вольтметр.
6. Определить показания вольтметра.
Параметры элементов схемы:
Е1 = 36 В; Е2 = 10 В; Е3 = 25 В; R1 = 4 Ом; R2 = 8 Ом; R3 = 3 Ом; R4 = 10 Ом;
R5 = 2 Ом; R6 = 7 Ом.
Решение
1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Количество независимых уравнений КI = У - 1, где У – количество узлов в схеме.
В рассматриваемой схеме 4 узла, значит КI = 3. Направления токов в ветвях схемы показано на рис.4.
узел 1: I2 – I3 + I4= 0
узел 2: -I4 + I5 + I6 = 0. (13)
узел 3: -I1 + I3 - I6 = 0
2. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа. Количество уравнений определяется по формуле:
КП = В – У +1, где В – количество ветвей в схеме.
Рис. 3
В рассматриваемой схеме 6 ветвей, четыре узла, тогда КП = 6 – 4 + 1 = 3.
Обозначим контуры I, П, Ш. Примем обход контуров по часовой стрелке (рис.4) и для каждого контура запишем уравнения.
I контур: I1R1 + I5 R5 - I6R6 = E1
П контур: I2R2 - I4 R4 – I5R5 = –E2 (14)
Ш контур: I3R3 + I4 R4 + I6R6 = Е3
3. Составим уравнения методом узловых потенциалов. Примем, что потенциал узла 0 равен нулю (φ 0 = 0)
φ1g11 – φ2g12 – φ3g13 = – E2g2 – E3g3
-φ1g21 + φ2g22 – φ3g23 = 0, (15)
φ1g31 – φ2g32 + φ3g33 = – E1g1+E3g3
где g11 = g2+ g3 + g4; g12 = g4; g13 = g3; g22 = g4 + g5 + g6; g21 = g12; g23 = g6;
g33 = g1 + g3 + g6; g31 = g13; g32 = g23;
g1 =
g3 =
g5 =
g11 = g2+ g3 + g4 = 0,125 + 0,333 + 1 = 1,458 (См);
g22 = g4 + g5 + g6 = 1 + 0,5 + 0,143 = 1,643 (См);
g33 = g1 + g3 + g6 = 0,25 + 0,333 + 0,143 = 0,726 (См).
Подставим численные значения в систему уравнений (15):
φ1 ٠1,458 - φ2 ٠1 - φ3٠ 0,333 = - 25 ٠0,333- 10 ٠ 0,125
-φ1 ٠1 + φ2 ٠1,643 - φ3٠ 0,143 = 0
-φ1 ٠0,333 - φ2 ٠0,143 + φ3٠ 0,726 = -36 ٠ 0,25+25∙0,333
Запишем систему уравнений в матричной форме:
x
=
Применяя метод Крамера, определяем φ1, φ2, φ3:
φ1 = φ2 =
φ3 =
,
где ∆ - главный определитель матрицы проводимостей, ∆1, ∆2, ∆3 -определители матриц, полученных путем последовательной заменены столбцов матрицы проводимостей столбцом свободных членов.
Выполнив вычисления, получим:
φ1 = - 16,563 (В); φ2 = - 11,012 (В); φ3 = - 10,696 (В).
Токи в ветвях схемы определим, применяя закон Ома. Для этого зададимся направлением токов в ветвях схемы (рис.4).
I1 = (φ3– φ0 +E1)g1 = (-10,696 + 36)٠0,25 = 6,326 (А);
I2 = (φ0 – φ1 - E2)g2 = (16,563- 10)٠0,125 = 0,820 (А);
I3 = (φ1 – φ3 + E3)g3 = (-16,563 + 10,696 + 25)٠0,333 = 6,37 (А);
I4 = (φ2 – φ1)g4 = (-11,012+16,563) ٠ 1 =5,551 (А);
I5 = (φ0 – φ2)g5 = 11,012٠0,5 = 5,506 (А);
I6 = (φ3 – φ2)g6 = (-10,696+11,012)∙0,143 = 0,045 (А).
Правильность выполненных решений можно проверить, применяя первый закон Кирхгофа.
Рис.4
4. Составим уравнения, используя метод контурных токов. Обозначим токи в контурах соответственно I11, I22, I33. Примем направление контурных токов по часовой стрелке (рис.4).
I контур: I11 (R1 + R5 + R6) - I22R5 - I33R6 = E1
П контур: -I11R5 + I22 (R2 + R4 + R5) - I33R4 = -E2. (16)
Ш контур: -I11R6 - I22 R4 + I33 (R3 + R4 + R6) = Е3
Подставим численные значения в систему уравнений (16) и запишем уранения в матричной форме:
x
=
Используя функцию «MATHCAD 11» lsolve (a,b), получим:
I11 = 6,328 (А); I22 = 0,821 (А); I33 = 6,374 (А).
Токи в ветвях схемы определим через контурные токи:
I1 = I11 = 6,328 (А); I2 =I22 == 0,821 (А);
I3 = I33 = 6,374 (A); I4 = I33 – I22 = 6,374 – 0,821 = 5,553 (A);
I5 = I11 – I22 = 6,328 – 0,821 = 5,507 (A); I6 = I33 - I11=
= 6,374- 6,328= 0,046 (A).
4. Баланс мощностей – это равенство суммарной мощности источников и суммарной мощности приемников электроэнергии.
Определим мощность источников питания:
PИСТ = E1 ٠ I1 - E2٠I2 + E3٠I3 = 36٠6,328 - 10٠0,821+25٠6,374 = 378,948 (Вт).
Мощность приемников энергии:
PПР = I12 R 1+ I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 =
= 6,3282 ٠4 +0,8212 ٠ 8 + 6,3742 ٠ 3 + 5,5532 ٠1 + 5,5072 ٠ 2 +
+ 0,0462 ٠7 = 378,954 (Вт).
Как следует из расчетов, баланс мощностей выполняется.
5. Потенциальную диаграмму построим для контура 0, 2, 3, 4, 0 (рис. 5).
Примим потенциал узла 0 равным нулю: φ0 = 0. Потенциалы других узлов определим по закону Ома:
φ2 = φ0 - I5R5 = -5,507∙2 =- 11,01 (В);
φ3 = φ2 + I6 R 6 =- 11,01 +0,046 ٠ 7 = - 10,688 (В);
φ4= φ3 +Е 1 = - 10,688 +366,328 ∙ 4 = 25,312 (В);
φ0= φ4 - I1R 1 =25,312- 6,328∙ 4 = 0 (В).
Суммарное сопротивление рассматриваемого контура составит:
R = R5 + R6 + R1 = 2 + 7 + 4 = 13 (Ом).
В масштабе по оси абсцисс откладываем сопротивление, а по оси ординат значение потенциалов в узлах контура.
Потенциальная диаграмма приведена на рис. 6.
6. Определим показания вольтметра как разность потенциалов узлов 5 и 4:
V03 = φ0 - φ43= 0 – (-10,688) = 10,688 (В).
Рис.5
Рис. 6
4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Синусоидальный ток (ЭДС, напряжение) представляет собой ток, изменяю-щийся во времени по синусоидальному закону
(17)
где Im – амплитуда тока, T – период, f=1/T - частота, (ωt+Ψ0) – фаза, Ψ0 – начальная фаза.
Синусоидальный ток (ЭДС и напряжение) принято изображать на комплексной плоскости в виде вектора для момента времени t=0
, (18)
где - комплексная величина, ее модуль равен Im, а угол, под которым вектор
проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе Ψ0. В расчетах, обычно, применяют действующие значения синусоидальных величин. Под комплексом действующего значения тока (ЭДС, напряжения) или под комплексом тока,
понимают величину, определяемую по формуле
(
,
). (19)
В цепях переменного тока кроме активного сопротивления R, имеют место реактивные сопротивления X: индуктивное - XL и емкостное - XC. Комплексное поллное сопротивление в алгебраической форме имеет вид
Z = R + јХL- јХC, (20)
где ХL =ωL = 2πfL; L - индуктивность; ХC=1/ ωC=1/ 2πfC; С- емкость конденсатора.
Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать z. Точку над Z не ставят, так как ее принято ставить над комплексными величинами, которые являются синусоидальными функциями времени. Модуль комплексного сопротивления z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника сопротив-лений, один катет которого равен R, другой Х (рис. 7), тогда
(21)
Рис.7
Комплексное сопротивление в показательной форме будет имееть вид:
. (22)
Закон Ома и законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока в комплексной форме будут иметь вид
;
;
. (23)
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 1012 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!