Свойства среднего квадратического отклонения

1. .

2. .

3.

4. для независимых случайных величин Х и Y.

Пусть Х – дискретная или непрерывная случайная величина. Начальным моментом k-го порядка называют математическое ожидание случайной величины , т.е.

или

Очевидно, что .

Центральным моментомk-го порядка называют математическое ожидание случайной величины , т.е. . Центральные моменты вычисляются по формулам: или ;

, .

Можно вывести, пользуясь определением, формулы, связывающие и :

Теоретические моменты являются характеристиками формы распределения случайной величины. Например служит для характеристики «скошенности» распределения. Если , то левый «хвост» распределения случайной величины Х «тяжелее» правого. Если случайная величина. Х непрерывна, то в этом случае левый «склон» ее плотности более пологий, чем правый. Если , то левый «хвост» распределения легче правого. Если случайная величина Х симметрична, то . Но имеет размерность, равную третьей степени размерности случайная величина Х, что неудобно. Поэтому вводятся безразмерные характеристики формы распределения случайной величины.

Коэффициентом асимметрии называется величина .

Центральный момент служит для характеристики «крутости» (или островершинности) распределения. Коэффициентом эксцесса называют число .

Чем больше , тем более остра вершина плотности соответствующей случайной величины. Наоборот, если коэффициент мал, то график плотности соответствующей случайной величины имеет тупую вершину.

Пример. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины :

. График этой функции представлен на рис.35.

Найти функцию распределения случайной величины и построить её график; найти ; найти числовые характеристики случайной величины : .

Решение. Известно, что функцию распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле . Рассмотрим : . Если , то . Наконец, при получим: .

Итак, График функции распределения случайной величины представлен на рис.36.

Рисунок 35. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины ,	Рисунок 36. График функции распределения непрерывной случайной величины

. Аналогичный результат можно получить, используя функцию распределения . Приращение функции на отрезке (рис.36) и площадь заштрихованной фигуры на рис.35 равны .

Для вычисления воспользуемся формулой .

,

Максимального значения функция плотности вероятности достигает в точке , следовательно . Чтобы определить медиану случайной величины решим уравнение: , то есть , , следовательно . Аналогичный результат модно получить, используя функцию плотности случайной величины :