Регрессионные модели множественной корреляции

Корреляционная зависимость результативного признака от нескольких факторов называется множественной корреляцией.

Регрессионной моделью множественной корреляции называется уравнение

,

где f – некоторая математическая функция;

– параметры;

– значения факторов ;

– теоретические значения результативного признака.

Линейная модель корреляционной зависимости результативного признака y от m факторов имеет вид:

, . (1.11.33)

Модель (1.11.33) так же, как и линейную модель (1.11.5) парной корреляции, можно записать в матричной форме (1.11.9), где

, , ,

а МНК-оценки параметров этой модели можно вычислить по формуле (1.11.10).

Некоторые нелинейные регрессионные модели множественной корреляции сводятся к линейной модели. Рассмотрим некоторые из них.

1. Полулогарифмическая модель

, (1.11.34)

является линейной моделью относительно .

2. Гиперболическая модель

, (1.11.35)

является линейной моделью относительно .

3. Экспоненциальная модель

, (1.11.36)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

,. (1.11.37)

4. Степенная модель

, (1.11.38)

логарифмированием преобразуется к линейной модели:

,. (1.11.39)

Адекватность модели множественной корреляции оценивается средней ошибкой аппроксимации (1.11.19).

Коэффициент линейной модели показывает, на сколько единиц изменяется значение результативного признака при увеличении k -го фактора на одну единицу.

Сравнение МНК-оценок параметров линейной модели дает представление о степени влияния факторов на результативный признак только тогда, когда они сопоставимы. Чтобы сделать эти оценки сопоставимыми, их нормируют по формуле

, (1.11.40)

где и - среднеквадратические отклонения соответственно k -го фактора и результативного признака.

Частный коэффициент эластичности:

, (1.11.41)

где - среднее значение k- го фактора,

- среднее значение результативного признака,

- коэффициент линейной модели при k- ом факторе,

показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак при изменении k- го фактора на 1%.

Сила связи линейной множественной корреляции оценивается с помощью коэффициента множественной корреляции, вычисляемого по формуле

. (1.11.42)

Значение коэффициента множественной корреляции на значимость проверяется по правилу:

1) вычислить эмпирическое значение

, (1.11.43)

где n – число наблюдений, m – число факторов;

2) найти в табл. П5 по числам и и уровню значимости a критическое значение ;

3) если , то коэффициент множественной корреляции признается значимым с вероятностью .

В случае двухфакторной линейной корреляции множественный коэффициент корреляции можно вычислить, зная линейные коэффициенты парных корреляций, по формуле

. (1. 11.44)

Для оценки вклада во множественный коэффициент корреляции каждого из факторов вычисляют частные коэффициенты кор­реляции, т. е. коэффициенты корреляции, в которой исключается влияние одного фактора. В случае двухфакторной линейной корреляции частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам

и . (1.11.45)

Квадрат частного коэффициента корреляции называется частным коэффициентом детерминации. Он указывает вклад фактора в колеблемость результативного признака.

Наличие мультиколлинеарности, т. е. линейной зависимости меж-ду факторами, приводит к искажению значений параметров линейной модели и изменению смысла их экономической интерпретации. Эта проблема решается в эконометрике.

Пример 1.11.3. В табл. 1.11.11 приведена зависимость прибыли у млн. руб. от затрат коп. на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости млрд. руб. основных фондов предприятия.

Таблица 1.11.11

i				i
			4,3				3,9
			5,9				4,3
			5,9				4,9

Составим линейную модель (1.11.9) данной зависимости, где

и .

Найдем МНК-оценки параметров модели по формуле (1.11.10), применяя функции МУМНОЖ и МОБР для вычисленияв Excel произведения матриц и обратной матрицы:

=

= ,

,

= ,

= = .

Таким образом, линейная регрессионная модель зависимости прибыли от затрат на 1 руб. произведенной продукции и от стоимости основных фондов имеет вид:

. (1.11.46)

Для вычисления средней ошибки аппроксимации (1.11.19) модели (1.11.46) и частных коэффициентов эластичности составим расчетную табл. 1.11.12. Вычислим:

средние значения:

, , ;

среднюю ошибку аппроксимации:

;

частные коэффициенты эластичности:

и .

Таблица 1.11.12