Теоретический материал. Преобразование двумерных координат

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

Преобразование двумерных координат. Динамическое

Преобразование координат.

1. Цель работы: исследование математических методов и алгоритмов преобразования двумерных и трехмерных координат в процессе построения сложных графических изображений, а так же изучение алгоритмов построения динамических изображений со сложным преобразованием координат в графическом режиме.

Задачи работы.

Освоить приемы работы с системой двумерных координат.

Содержание работы.

- Получить задание у преподавателя.

- Написать и отладить на компьютере программу, реализующую требуемое преобразование изображения без масштабирования.

- Если изображение искажено, ввести масштабирующие коэффициенты.

- Результат работы программы продемонстрировать преподавателю.

- Напечатать листинг программы.

Требования к отчету

Отчет выполняется на листах А4 формата и должен содержать:

- название работы, постановку задачи, порядок выполнения работы и полученное изображение;

- ответы на контрольные вопросы.

Теоретический материал

Преобразования координат широко используются при синтезе как статических, так и динамических изображений с целью реализации таких операций над рисунком как перенос, поворот, подобие, симметрия. Перенос является достаточно простой операцией, т.к. реализуется путем изменения значений одной и/или второй координат. Другие операции, а тем более их комбинация, характеризуются большей сложностью и требуют математических преобразований. Для простоты в данной лабораторной работе рассматриваются только двумерные преобразования. Обычно в данном процессе исходно задаются основные координаты x₁, y₁, а через них в виде уравнений просчитываются вторичные координаты x_22, y₂₂.

x₂₂ = f(x₁, y₁),

y₂₂ = f(x₁, y₁).

Наиболее распространены так называемые аффинные преобразования, которые предполагают сохранение после расчета вторичных координат параллельность и формы у прямых. Общий вид уравнений таких преобразований имеет вид

x₂₂ = a_xxx₁ + a_xyy₁ + a_x,

y₂₂ = a_yxx₁ + a_yyy₁ + a_y.

При этом сдвиг без поворота характеризуется матрицей коэффициентов

		ax
		ay

где a_x, a_y - задают сдвиг соответственно по осям x и y, т.е.

x₂ = x₁ + a_x,

y₂ = y₁ + a_y.

Операция масштабирования (преобразования подобия) реализуется матрицей

М
	М

Зеркальное отображение относительно диагонали первого квадранта (смена координатных осей) предполагает матрицу вида

Повороту на угол α против часовой стрелки соответствует матрица

сosα	-sinα
sinαα	cosα

Комбинации двух или более операций преобразования соответствует комбинация коэффициентов соответствующих матриц. Так, например, сдвиг с одновременным поворотом реализуется матрицей

сosα	-sinα	ах
sinαα	cosα	аy

Описание среды программирования

При преобразовании координат в среде языка программирования Turbo Pascal необходимо учесть, что графический экран ПК представляет собой четвертый квадрант прямоугольной системы координат, т.е. начало координат находится в левом верхнем углу. Полноценная система координат создается самим пользователем путем переноса ее начала вниз и/или вправо на величины Dx и/или Dy, т.е. реализуется локальная система, сдвинутая на данные величины относительно глобальной. В дальнейшем, глобальные координаты всех точек (x_г, y_г) пересчитываются через локальные (x_л, y_л) по следующим уравнениям:

x_г = x_л + Dx,

y_г = Dy - y_л.

Вторая проблема, возникающая обычно при сложных преобразованиях, - разная разрешимость (количество пикселей на единицу длины) графического экрана по горизонтали и вертикали. Попытка изобразить квадрат путем задания одинакового количества пикселей по его сторонам приводит к отображению прямоугольника, вытянутого по высоте. Данный эффект отсутствует только при разрешении 640х480 и особенно усиливается при установке подрежимов с низким количеством пикселей по вертикали, например, 640х200 (см. лабораторную работу №3). Для устранения данного эффекта средствами языка Паскаль производится предварительное масштабирование изображения с помощью процедуры GetAspectRatio (mx, my), где mx, my - переменные, в которые записывается число точек по горизонтали и вертикали. В дальнейшем, при построении требуемого изображения все координаты по оси x должны умножаться на отношение my/mx или, наоборот, все координаты по оси y умножаются на отношение mx/my. При этом возникает еще одна проблема, связанная с особенностями языка Паскаль: получаемые при умножении масштабированные координаты могут принимать вещественные значения, что запрещено для параметров графических примитивов данного языка. Поэтому все результаты таких умножений должны округляться функцией Round.