Приведённая система

Разрешая систему (5) относительно матрицы Y (это возможно в силу условия (3)) получаем:

Y = QX + Y, (10)

где Q = (I ‑ A)^-1B

(11)

Y = (I ‑ A)^-1E

Уравнению (10) соответствует эквивалентное (приведённое) (2) уравнение исходной системы:

(12)

где ‑ векторы выходных координат, входов и помех соответственно.

Уравнению (12) соответствует структурная схема, в которой каждый из входов x_i поступает в каждую подсистему и ни одна из подсистем не имеет эндогенных входов. Для системы на Рис. 1. соответствующая эквивалентная (приведённая) (в смысле входо-выходных соотношений) структура имеет вид Рис. 2.

Система типа (12) изучалась нами выше.

Для неё нахождение неизвестных параметров q_ij – элементов матрицы Q производится обычным МНК для каждой подсистемы отдельно.

Однако мы не можем ограничится решением задачи определения «наилучших» значений коэффициентов q_ij матрицы Q. Объясняется это тем, что коэффициенты a_jk, b_{j l} , матрицы А и В системы (2) (в отличии от коэффициентов q_ij матрицы Q) имеют ясный физический смысл.

Построенная с помощью a_jk и b_{j l} регрессионная модель хорошо приближает реальную систему на имеющемся экспериментальном материале. И её можно использовать для прогнозирования реальной системы не только при изменении входных сигналов, но и при изменении в определённой степени конструктивных параметров системы. Поэтому сформулированная выше экстремальная задача имеет смысл.

Приведём один приближенный способ её решения.

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Рассмотрим j – ое из уравнений (1)

(13)

На первом шаге для каждой эндогенной переменной y_k, стоявшей в правой части уравнения (13), выписывается уравнение приведенной системы (12):

(14)

Используя матрицы экспериментальных данных Y, X (см. 4), находим с помощью МНК-оценки неизвестных параметров q_kj.

Образуем n новых переменных (расчетных переменных):

(15)

Здесь n_j – число элементов множества А_j.

Этим завершается первый шаг.

На втором шаге вычисленные расчетные переменные (15) подставляются вместо соответствующих эндогенных переменных y_k в правую часть (13). Получаем:

(16)

уравнение (16) рассматривается как обычное уравнение регрессии с переменными (факторами) , x _l.

Оно решается, (т.е. находятся a_jk, b_{j l} ) с помощью МНК и найденные значения a_jk и b_{j l} принимаются за решение задачи.

Можно строго доказать, что значения параметров структурных уравнений (1), найденные двухшаговым методом наименьших квадратов, с ростом числа наблюдений сходятся по вероятности к истинным значениям этих параметров.

Замечание: При применении МНК на втором шаге, значения расчетных переменных вычисляются с помощью (16) с использованием экспериментальных данных Х из (4).

Пример. Рассмотрим систему со структурной схемой.

Для этой схемы уравнения реальной системы имеют вид:

.

Первый шаг. Для первого уравнения представляем эндогенную переменную y₂ в виде: y₂ = q₂₁x₁ + q₂₂x₂ + y₂

Соответствующая регрессионная модель

Матрица экспериментальных данных