Кинематика точки

1. Способы задания точки.

Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

Естественный сп. указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения точки. При прямолинейном движении: х=f(t).

Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).

Векторный сп. положение точки определяется ее радиус-вектором, проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, назыв. годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора.

2. Вектор скорости точки, вектор ускорения точки.

Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки.

Известно, что при движении точки по прямой линии с постоянной скоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденного расстояния s на время: . При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится

Рис. 5

в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто­ром , а в момент приходит в положение M ₁ определяемое векто­ром (рис.5). Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ ₁ видно, что ; следовательно, .

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени :

.

Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина , к которой стремится средняя скорость при стремлении промежутка времени к нулю:

, .

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ ₁ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Вектор ускорения точки

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость , а в момент приходит в положение и имеет скорость (рис. 6).

Рис.6

Тогда за промежуток времени скорость точки получает приращение . Для построения вектора отложим от точки М вектор, равный , и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему про­межутку времени определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

.

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M ₁ (рис. 4). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки , учитывая, что , , , найдем:

, , .

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы , , , которые вектор образует с координатными осями) по формулам

;

, , .

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:

, ,

или

, , ,

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

;

, , ,

где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Пример 3. Движение точки задано уравнениями .

Из первого уравнения . Подставив во второе, получим уравнение траектории:

Это уравнение параболы. В на­чале движения, при , точка находи­лась на самом верху, в положении M ₀ ().

А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами

Проекции скорости на оси

При

И модуль скорости

Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 7.

Рис.7

Проекции ускорения . Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.

4. Оси естественного трехгранника. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки.

Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Величину скорости можно определить как предел ( – длина хорды ):

где – длина дуги . Первый предел равен единице, второй предел – производная

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении

Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси , имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.8). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль , лежащая в соприкасающейся плоскости(вплоскости самой кривой, если кривая плоская), называетсяглавной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль - бинормалью.

Рис.8

Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости ; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю ().

Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скорость , a в момент приходит в положение М ₁ и имеет скорость .

Тогда по определению

.

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси и , проведенные в точке М (рис.8). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

, .

Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М ₁ оси параллельные и обозначим угол между направлением вектора и касательной через . Этот угол между касательными к кривой в точках М и М ₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности к длине дуги определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны в точке М. Таким образом,

.

Обращаясь теперь к чертежу (рис.9), находим, что проекции векторов и на оси будут равны:

,

где и - численные величины скорости точки в моменты и .

Следовательно,

.

Заметим что при точка М ₁ неограниченно приближается к М и одновременно

.

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для выражение

.

Правую часть выражения преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на . Тогда будем иметь

,

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при равны:

Окончательно получаем:

.

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s noвремени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки.

Рис.9

Отложим вдоль касатель­ной и главной нормали векторы и , чис­ленно равные и (рис. 9). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси в зависимости от знака проек­ции (см. рис.9, а и б).

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

.