Продолжение 3 страница

Рис.4.2 Граф смежности населенных пунктов

Таблица 4.9

r’	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1						0,4
x2	0,2		0,8	0,6	0,1
x3		0,8			0,7
x4		0,6			0,5
x5		0,1	0,7	0,5
x6

Эта таблица показывает степень принадлежности двухсторонней связи между населенными пунктами (x₁,x₄), (x₂,x₃), (x₂,x₄), (x₂,x₅), (x₃,x₅),(x₄,x₅), и односторонней связи между населенными пунктами (x₁,x₆), (x₂, x₁). На главной диагонали m (x_i,x_i)=1, так как каждый пункт достижим для самого себя.

4.2.1 Операции над нечеткими соответствиями и отношениями

Поскольку нечеткие соответствия и отношения есть множества, т.е. q’={m_r’(x_i,y_j)/(x_i,y_j)}и r’={m_r’ (x_i,x_j)/(x_i,x_j)}, то к ним применимы все теоретико-множественные операции.

Объединение нечетких соответствий q’₁={m_q’1(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} и q’₂={m_q’2(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} есть нечеткое соответствие q’=(q’₁Èq’₂), степень принадлежности которому каждой пары (x_i,y_j) определяется формулой

m_q’(x_i,y_j)= m_q’1(x_i,y_j)Úm_q’2(x_i,y_j) =max{m_q’1(x_i,y_j); m_q’2(x_i,y_j)}.

Пример.

q1		y2	y3	y4		q2		y2	y3	y4			q’		y2	y3	y4
	x1	0,2	0,4	0,6			x1	0,4	0,2	0,8				x1	0,4	0,4	0,8
	x2	0,3	0,5	0,7	È		x2	0,5	0,7	0,3		=		x2	0,5	0,7	0,7
	x3	0,2	0,5	0,4			x3	0,5	0,2	0,6				x3	0,5	0,5	0,6
	x4	0,3	0,6	0,9			x4	0,4	0,7	0,8				x4	0,4	0,7	0,9

Объединение нечетких отношений r’₁={m_r’1(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} и r’₂={m_r’2(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} есть нечеткое отношение r’=(r’₁Èr’₂), степень принадлежности которому каждой пары (x_i,x_j) определяется формулой

m_r’(x_i,x_j)= m_r’1(x_i,x_j)Úm_r’2(x_i,x_j)=max{m_q’1(x_i,x_j); m_q’2(x_i,x_j)}.

Пример.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x2	x3	x4		r’	x1	x2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9		x1	0,4	0,4	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5		x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=	x2	0,5	0,7	0,7	0,7
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5		x3	0,5	0,5	0,6	0,7
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3		x4	0,4	0,7	0,9	0,9

Пересечен ие нечетких соответствий q’₁={m_q’1(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} и q’₂={m_q’2(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} есть нечеткое соответствие q’=(q’₁Çq’₂), степень

принадлежности которому каждой пары (x_i,y_j) определяется формулой

m_q’(x_i,y_j)= m_q’1(x_i,y_j)&m_q’2(x_i,y_j)=min{m_q’1(x_i,y_j); m_q’2(x_i,y_j)}.

Пример.

q1		y2	y3	y4		q2		y2	y3	y4			q’		y2	y3	y4
	x1	0,2	0,4	0,6			x1	0,4	0,2	0,8				x1	0,2	0,2	0,6
	x2	0,3	0,5	0,7	Ç		x2	0,5	0,7	0,3		=		x2	0,3	0,5	0,3
	x3	0,2	0,5	0,4			x3	0,5	0,2	0,6				x3	0,2	0,2	0,4
	x4	0,3	0,6	0,9			x4	0,4	0,7	0,8				x4	0,3	0,6	0,8

Пересечение нечетких отношений r’₁={m_r’1(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} и q’₂={m_r’2(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} есть нечеткое отношение r’=(r’₁Çr’₂), степень принадлежности которому каждой пары (x_i,x_j) определяется формулой

m_r’(x_i,x_j)= m_r’1(x_i,x_j)&m_r’2(x_i,x_j)=min{m_q’1(x_i,x_j); m_q’2(x_i,x_j)}.

r1	x1	x2	x3	x4		r2	x1	x 2	x3	x4		r’	x1	x2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9		x1	0,2	0,2	0,6	0,3
x2	0,3	0,5	0,7	0,5	Ç	x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=	x2	0,3	0,5	0,3	0,5
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5		x3	0,2	0,2	0,4	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3		x4	0,3	0,6	0,8	0,3

Дополнение нечеткого соответствия есть ùq’, степень принадлежности которому определяется формулой: m_ùq’(x_i,y_j)=(1 - m_q’(x_i,y_j)).

q1		y2	y3	y4		ùq1	y2	y3	y4
	x1	0,2	0,4	0,6			x1	0,8	0,6	0,4
	x2	0,3	0,5	0,7			x2	0,7	0,5	0,3
	x3	0,2	0,5	0,4			x3	0,8	0,5	0,6
	x4	0,3	0,6	0,9			x4	0,7	0,4	0,1

Дополнениенечеткого отношения есть ùr’, степень принадлежности которому определяется формулой: m_ùr’(x_i,x_j)=(1 - m_r’(x_i,x_j).

r	x1	x 2	x3	x4		r’	x1	x2	x3	x4
x1	0,4	0,2	0,8	0,9		x1	0,6	0,8	0,2	0,1
x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=	x2	0,5	0,3	0,7	0,3
x3	0,5	0,2	0,6	0,5		x3	0,5	0,8	0,4	0,5
x4	0,4	0,7	0,8	0,3		x4	0,6	0,3	0,2	0,7

Композиция нечетких соответствий q’₁={m_q’(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} и q’₂={m_q’(y_j,z_k)/(y_j,z_k)} есть нечеткое соответствие

q’=(q’₁·q’₂)={m_q’(x_i,z _k)/(x_i,z_k)}, для которого существует хотя бы один элемент y_j, принадлежащий q’₁ и q’₂. Степень принадлежности пары (x_i,z_k) определяется объединением пересечений для каждого 1£y_j£m, принадлежащего q’₁ и q’₂, по формуле:

m_q’(x_i,z _k) = _j=1Ú^j=m(m_q’1(x_i,y_j)&m_q’2(y_j,z_k))= max{min(m_q’1(x_i,y_j); m_q’2(y_j,z_k) }.

Пример. Продолжая пример по выбору местоположения магазинов (см. табл. 4.7, 4.8), можно найти композицию двух соответствий q’=(q’₁·q’₂). Эта компо-зиция покажет нечеткое соответствие руководителей магазинов розничной и фирм по заданным показателям.

Вычислим, например, степень принадлежности для (x₁₀;z₂):

m_q’(x₁₀,z₂) =max{min{(m_q’1(x₁₀,y₁); m_q’2(y₁,z₂)}; min{m_q’1(x₁₀,y₂); m_q’2(y₂,z₂)}; min{m_q’1(x₁₀,y₃); m_q’2(y₃,z₂)}; min{m_q’1(x₁₀,y₄); m_q’2(y₄,z₂)}}=

max{min{0,6; 0,1}; min{0,7; 0,9}; min{0,8; 0,9}; min{0,5; 0,1}=

max{0,1; 0,7; 0,8; 0,1}= 0,8.

Нечеткое соответствие руководителей магазинов и фирм по заданным показателям представлено табл. 4.10.

Анализ таблицы показывает, что руководители магазинов x5 и x10 соответствуют всем фирмам по избранным показателям, так как степень принадлежности m(x5,zi) и m(x10,zi) не ниже 0,6, а руководитель магазина x11 не соответствует всем фирмам по показателям, так как m(x11,zi)=0,1.

q’ z1 z2 z3 z4 x1 0,9 0,1 0,5 0,7 x2 0,5 0,9 0,6 0,6 x3 0,4 0,9 0,5 0,4 x4 0,8 0,1 0,5 0,6 x5 0,9 0,9 0,6 0,7 x6 0,8 0,5 0,5 0,7 x7 0,8 0,4 0,5 0,7 x8 0,5 0,8 0,6 0,6 x9 0,5 0,5 0,5 0,5 x10 0,6 0,8 0,6 0,6 x11 0,1 0,1 0,1 0,1 x12 0,8 0,9 0,5 0,6

Таблица 4.10

Для того, чтобы усилить сравнение тесноты связей “руководитель

магазина-фирма”, или выбрать предпочтительные зоны обслуживания фирмами групп магазинов, надо выполнить процедуру попарного сравнения степеней принадлежности “руководитель магазина – фирма”.

Элементы матрицы парных сравнений q’(x;(z_i; z_j)) представлены в табл. 4.11 по формуле: m(x_k; (z_i,z_j))=min{m(x_k; z_i); m(x_k;z_j)}.

Например, для x₁ и (z₁,z₂) имеем m(x₁; (z₁,z₂))=min{m(x_1; z₁); m(x₁;z₂)}= min{0,9; 0,1}=0,1, для x₁ и (z₁,z₃) имеем m(x₁; (z₁,z₃))=min{m(x_1; z₁); m(x₁;z₃)}= min{0,9; 0,5}=0,5, для x₁ и (z₁,z₄) имеем m(x₁; (z₁,z₄))=min{m(x_1; z₁); m(x₁;z₄)}= min{0,9; 0,7}=0,7 и т.д.

Для каждой пары фирм находят максимальное значение функции при-надлежности m_(Zi;Zj) = max{ m_(Zi;Zj)(x_k)}, или максимальное значение в столбце (Z_i; Z_j). Среди множества максимальных значений max{m_{(Zi; Zj)}} ={0,9; 0,6; 07}, находят минимальное значение - min {max{m_{(Zi; Zj)}}}=0,6.

Это будет степенью разде-ления принадлежности нечеткому соответствию каждого руководителя магазина и каждой отдельно взятой фирмы, т.е. a = min {m_{(Zi; Zj)} }.

Таблица 4.11

q’(x; (zi; zj))	(z1;z2)	(z1;z3)	(z1;z4)	(z2;z3)	(z2;z4)	(z3;z4)
	x1	0,1	0,5	0,7	0,1	0,1	0,5
	x2	0,5	0,5	0,5	0,6	0,6	0,6
	x3	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4
	x4	0,1	0,5	0,6	0,1	0,1	0,5
	x5	0,9	0,6	0,7	0,6	0,7	0,6
	x6	0,5	0,5	0,7	0,5	0,5	0,7
	x7	0,4	0,5	0,7	0,4	0,4	0,5
	x8	0,5	0,5	0,5	0,6	0,6	0,6
	x9	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
	x10	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6
	x11	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
	x12	0,8	0,5	0,6	0,5	0,6	0,5
	max{m(zi;zj)}	0,9	0,6	0,7	0,6	0,7	0,7

Пусть a = 0,6. Это значение a позволяет выявить торговые зоны, связывающие магазины и фирмы. В табл. 4.10 следует удалить позиции, где степень принадлежности соответствия m(x_i,z_j)<0,6. Эти результаты представлены в табл. 4.12.

Анализ таблицы показывает высокую степень соответствия фирмы z₁ и торговых точек x₁, x₄, x₅, x₆, x₇, x₁₂, фирмы z₂ и торговых точек x₂, x₃, x₅, x₈, x₁₀ и x₁₂ и конкуренцию фирм z₁ и z₄ на торговыx точках x₁, x₄, x₅, x₆, x₇, x₁₂ и фирм z₂ и z₃ на торговых точках x₂, x₅, x₈, x₁₀.

Таблица 4.12

q’	z1	z2	z3	z4
x1	0,9	-	-	0,7
x2	-	0,9	0,6	0,6
x3	-	0,9	-	-
x4	0,8	-	-	0,6
x5	0,9	0,9	0,6	0,7
x6	0,8	-	-	0,7
x7	0,8	-	-	0,7
x8	-	0,8	0,6	0,6
x9	-	-	-	-
x10	-	0,8	0,6	0,6
x11	-	-	-	-
x12	0,8	0,9	-	0,6

Так можно выбрать торговые зоны обслуживания для отдельных фирм и магазинов.

Композиция нечетких отношений r’₁={m_r’(x_i,x_j)/(x_i,x_j)} и r’₂={m_r’(x_j,x_k)/(x_j,x_k)} есть нечеткое отношение r’=(r’₁·r’₂)={m_r’(x_i,x_k)/(x_i,x_k)}, для которого существует хотя бы один элемент x_j, принадлежащий r’₁ и r’₂. Степень принадлежности (x_i,x_k) определяется объединением пересечений для каждого 1£x_j£m, принадлежащего к’₁ и к’₂, по формуле:

m_r’(x_i,x _k)= _j=1Ú^j=m(m_r’1(x_i,x_j)&m_r’2(x_j,x_k))=max{min(m_r’1(x_i,x_j); m_r’2(x_j,x_k)}.

Пример. Продолжая пример по нарушению транспортных связей между населенными пунктами (см. табл. 4.9), определим композицию над одним нечетким отношением (возведем матрицу во вторую степень), что позволит найти степень нечеткой связи населенных пунктов через другие помежуточные пункты.

Вычислим, например, степень принадлежности m_r’(x₂,x ₅):

m_r’(x₂,x₅)=max{min{m_r’(x₂,x₁); m_r’(x₁,x₅)}; min{m_r’(x₂,x₂); m_r’(x₂,x₅)}; min{m_r’(x₂,x₃); m_r’(x₃,x₅)}; min{m_r’(x₂,x₄); m_r’(x₄,x₅)}; min{m_r’(x₂,x₅); m_r’(x₅,x₅)}; min{m_r’(x₂,x₆); m_r’(x₆,x₅)}=max{min{0,2; 0}; min{1; 0,1}; min{0,8; 0,7};

min{0,6; 0,5}; min{0,1; 0}; min{0; 1}}=max{0; 0,1; 0,7; 0,5; 0; 0}=0,7.

Нечеткое отношение между населенными пунктами при использовании промежуточных пунктов представлено таблицей, анализ которой показывает, что нечеткость связей между населенными пунктами изменилась.

Например, более надежной оказалась связь между пункта- ми x2 и x 5, если использовать промежуточный пункт x3 и нет связи через промежуточ- ные пункты из пункта x1 в пункт x4.

Таблица 4.13