Решение. Везде будем пользоваться теоремами о пределах суммы, произведения, частного и композиции

Везде будем пользоваться теоремами о пределах суммы, произведения, частного и композиции.

Примеры, где используются «замечательные» пределы, будут предложены далее, в следующих параграфах.

1) а) . Заметим, что в данном случае никаких дополнительных преобразований применять не нужно, т.к. функция непрерывна на , в частности, непрерывна в точке 2, а, значит, предел в точке 2 равен значению функции. . Вообще напомним, что при вычислении пределов полезно сначала определить тип предела, «подставив» предельную точку или бесконечность в аргумент (есть ли неопределенность?).

б) . (Подставив 2, получаем , т.е. бесконечность.) Обоснование ответа () заключается в том факте, что при делении имеющей ненулевой предел функции на бесконечно малую получается бесконечно большая.

в) . (При подстановке получаем - неопределенность. Причем знаки участвующих бесконечно больших величин зависят от знака , т.е. результат может получиться различным на и на .) Вычислим два предела по отдельности, в случае необходимости домножая на сопряженное и учитывая, что при , а при .

г)

д) (Выбираем наиболее быстро растущую функцию из участвующих в формуле, и делим на нее и числитель и знаменатель дроби, а далее используем теорему о пределе композиции - непрерывна в точке (–1).)

е) (Предел типа .)

ж) (Нет неопределенности!)

з) . Выбирая наиболее быстро растущую функцию, замечаем, что в зависимости от знака бесконечности результат получается различный: при быстрее всего растет (можно брать и , но эти функции отличаются только постоянным множителем), - бесконечно малая, а при - бесконечно малые!

(Предел типа .)

и) ( непрерывна на , а в аргументе неопределенность типа .)

к) ( непрерывна на , , а в аргументе бесконечно большая функция).

л)

м) . ( непрерывна на , , а в аргументе бесконечно малая функция).

2) .

3) . Т.к. предел конечен (по условию) и отличен от 0, то степень числителя должна совпадать со степенью знаменателя, а отношение коэффициентов при старшей степени переменной равно пределу.

Ответ.

4) . Пусть задано . Докажем:

.

Здесь использовались следующие факты: 1. неравенство треугольника: ;

2. при ;

3. при .

Итак: