Теоретический материал. Проинтегрировать функцию - значит найти ее неопределенный интеграл

Проинтегрировать функцию - значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где - произвольная дифференцируемая функция от .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:

1) - где - новая переменная, а - непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:

(14.1)

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;

2) , где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид

(14.2)

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (14.3)

где и - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью формулы (14.3) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при нахождении интегралов вида

за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида

за принимаются соответственно функции , , , а за - выражение .