Теоретические положения. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Каждый уровень временного ряда формируется из трендового (Т), сезонного (S)и случайного (Е)компонентов [1–5].

Тренд – это некоторое устойчивое, систематическое изменение, наблюдаемое в течение длительного времени и описывающее долговременную тенденцию развития изучаемого показателя. В качестве математической модели тренда выбирают кривую, наилучшим образом отражающую характер излучаемого ряда. В простейшем случае это может быть прямая , в более сложном случае – полином порядка m.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

При наличии трендовой и сезонной составляющих значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда. Ее можно измерить с помощью коэффициента автокорреляции уровней ряда, т. е. между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Число периодов, по которым рассчитывают коэффициент автокорреляции, называется лагом.

С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции) – коррелограммой. При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый временной ряд содержит только трендовую составляющую.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, то ряд содержит сезонные циклические колебания с периодичностью t моментов времени.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит трендовую и сезонную составляющие и имеет случайную составляющую Е, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма трех перечисленных компонентов – аддитивные модели вида:

Y = T + S + E.

Модели, в которых временной ряд пред­ставлен как произведение, – мультипликативные модели вида:

Y = T S E.

Выбор одной из двух моделей производят на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонного компонента предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонного компонента.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой Т, сезонной S и случайной Е составляющих для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги [5]:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонного компонента S;

3) устранение сезонного компонента из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е)или в мульти­пликативной (Т · Е)модели.

4) аналитическое выравнивание уровней (Т + Е)или (Т · Е)и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (Т + S)или (T · S);

6) расчет абсолютных или относительных ошибок.

Пример – Для заданного временного ряда необходимо следующее.

1 Построить график временного ряда.

2 Определить вид модели и период сезонных колебаний.

3 Произвести выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

4 Найти значения сезонного компонента S.

5 Устранить сезонный компонент из исходных уровней ряда и получить выровненные данные в аддитивной (Т + Е) или в мультипликативной (Т ∙ Е) модели.

6 Произвести аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т ∙ Е) и рассчитать значения Т с использованием полученного уравнения тренда.

7 Получить расчетные значения: (Т + S) или (Т ∙ S).

8 Определить абсолютные ошибки.

9 Найти прогноз двух последующих уровней временного ряда.