Rot F i j k i j k 0

Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал поля F непосредственным интегрированием.

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную точку . Тогда

.

Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок – оси , а отрезок – оси . Вдоль имеем и , а, следовательно, , вдоль уже – постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные, и – постоянны, а, значит, . Тогда

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение потенциального векторного поля F.
2. Какие равенства выполняются, когда поле F потенциально?
3. Дайте определение соленоидального векторного поля F.
4. Приведите необходимое и достаточное условие того, что векторное поле F соленоидально.

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти градиент скалярного поля :

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

2. Найти градиент скалярного поля в точке :

а) , .

б) , .

в) , .

3. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:

а) F i j k.

б) F i j k.

в) F .

г) F .

д) F i j k.

е) F i j k.

ж) F i j k.

з) F i j k.

и) F i j k.

к) F i j k.

4. Вычислить поток векторного поля F через поверхность в сторону, определяемую нормалью n к поверхности , если:

а) F , – часть цилиндра , заключенная между плоскостями и , n – внешняя нормаль.

б) F , – часть плоскости , расположенная в первом октанте между плоскостями и , n образует острый угол с осью .

в) F , – полусфера , расположенная в полупространстве , n образует острый угол с осью .

г) F , – часть конуса , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .

д) F , – поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .

е) F , – часть сферы , расположенная в первом октанте, n – внешняя нормаль.

ж) F i j k, – часть параболоида , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .

5. Вычислить поток векторного поля F через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:

а) F , – полная поверхность цилиндра , , .

б) F i j k, – полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями , , , , .

в) F i j k, – полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .

6. Найти циркуляцию плоского векторного поля F вдоль кривой L (направление обхода – положительное):

а) F , L – ломанная АВА, где , , кривая – кусок параболы , а – отрезок прямой.

б) F , L – граница квадрата , .

в) F , L – ломанная АВС, где , , .

г) F , L – кардиоида: , в сторону увеличения параметра.

7. Найти циркуляцию векторного поля F вдоль замкнутого контура L:

а) F , L – окружность, параметрические уравнения которой: , , , направление обхода – в сторону увеличения параметра .

б) F , L – окружность, получающаяся пересечением сферы и плоскости , направление обхода – против часовой стрелки, если смотреть с конца оси .

в) F , L – контур треугольника АВС, , , .

г) F , L – ломанная АВС, где , , .

д) F , L – окружность: , .

е) F i j k, L – контур треугольника АВС, , , .