Пояснение

Решение данной задачи основано на материале лекций 1 и 4 пособия [1], на которое мы и ссылаемся.

Применим правило Крамера (см. теорему 4 на стр. 18). Сначала составляем главный определитель системы:

Задача №2

Определить, образуют ли векторы базис в пространстве . Если они образуют базис, то разложить вектор по этому базису.

План решения

Решение этой задачи базируется на материале лекции 5 пособия [1]. Особое внимание следует обратить на пример 10, стр. 21-22.

По свойствам 5 и 6 систем векторов (стр. 20) данные векторы образуют базис тогда и только тогда, когда определитель, составленный из столбцов координат этих векторов, неравен нулю (см. соотношение (15) на стр. 20). Составляем этот определитель:

.

Числовые параметры а, b и с во всех вариантах подобраны так, что . Поэтому исходные векторы действительно образуют базис в пространстве .

По свойству 6, стр.20, существует единственное представление вектора в качестве линейной комбинации векторов , то есть

.

Запишем это соотношение в виде системы линейных уравнений для нахождения коэффициентов .

.

Далее решение идет точно так же, как в задаче №1. Главный определитель полученной системы совпадает с . Вычисляем вспомогательные определители:

, , .

Наконец, находим коэффициенты разложения: .

Если теперь вычислить линейную комбинацию , то должен получиться вектор . Такая проверка должна обязательно присутствовать в решении!

Задача №3

В треугольнике ABC, где , найти косинус угла A. Найти также площадь треугольника ABC.

План решения

Для решения этой задачи следует изучить заключительную часть лекции 5, а также лекции 6-9 из пособия [1]. Особое внимание должно быть обращено на пример 12 (стр. 27-28) и на пример 16 (стр. 35).

Используя материал пункта "Векторы в и " на стр. 22, вычислим координаты векторов и . Для этого нужно из координаты конца вектора вычитать координату его начала, то есть . Из формулы (25) на стр. 26 (см. также теорему 7 на той же странице) следует, что для вычисления нужно знать скалярное произведение векторов и , а также нормы (длины) этих векторов. Скалярное произведение вычисляем, руководствуясь определением 17, стр. 25: . Нормы векторов подсчитываем по формуле (24): . Теперь по формуле (25) имеем:

.

Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле (см. начало лекции 9, стр. 35, а также теорему 15, стр. 34):

.

Векторное произведение векторов, стоящее под знаком нормы, вычисляем по формуле (34), стр. 32:

.

Заметим, что определитель третьего порядка мы разложили по первой колонне (см. лемму 1 на стр.5 и числовую иллюстрацию после нее). Окончательно получаем:

.

Задача №4

Найти объем V пирамиды с вершинами .

План решения

Решение данной задачи основывается на лекции 9 из пособия [1]. Особое внимание следует обратить на пример 17, стр. 37.

Так же, как и в задаче 3, вычисляем векторы: . По формуле (40), стр.36, вычисляем смешанное произведение этих векторов:

.

Применяя теорему 17, стр. 36, а также тот очевидный геометрический факт, что объем пирамиды, натянутой на три вектора, в шесть раз меньше объема параллелепипеда, натянутого на эти же векторы, получаем:

.

В последней формуле знак модуля ставится потому, что число может оказаться отрицательным, в то время как объем всегда неотрицателен.

Задача №5

Даны матрицы . Вычислить произведение матриц . Найти обратную матрицу прямыми вычислениями, а также с использованием формулы .

План решения

Для решения задачи нужен материал лекций 3 и 4 из пособия [1]. Следует обратить особое внимание на числовую иллюстрацию на стр. 14, а также на примеры 7 (стр. 16) и 8 (стр. 17).

Применяя определения 8 (стр. 13) и 9 (стр. 14), вычислим матрицу :

.

Вычисляем . Числовые параметры a, b и c во всех вариантах подобраны так, что . По теореме 3, стр. 17, обратная матрица существует и имеет вид:

,

где – транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы C (см. определения 11, стр. 15, и 12, стр. 16). Подсчитаем элементы матрицы :

Теперь остается транспонировать матрицу (см. определение 3, стр. 5, и числовую иллюстрацию после него) и поделить все элементы полученной матрицы на .

Вычислим теперь матрицу , используя формулу (см. свойство 4 обратной матрицы на стр. 15). Сначала вычисляем и . По свойству 9 определителей (см. стр.10) , а так как мы уже получили, что левая часть этого равенства неравна нулю, то и , то есть обратные матрицы и существуют. Эти матрицы вычисляются так же, как мы вычислили матрицу . Посчитав произведение , мы должны получить матрицу . Совпадение этих матриц есть необходимое условие правильности вычислений.

Задача №6

Пусть заданы две точки: и . Записать в параметрическом виде уравнения прямой :

1) проходящей через точку A, параллельно вектору ;

2) проходящей через точки A и B.

План решения

Решение задачи базируется на материале лекции 10 из пособия [2]. Особое внимание следует обратить на числовую иллюстрацию на стр. 3, а также на пример 21, стр. 4.

1) Так как есть направляющий вектор прямой , то применяя формулу (42), стр. 3, получаем:

.

2) Очевидно, что в данном случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор . Опять по формуле (42) получаем:

	.
	€

Задача №7

Даны три точки: . Записать уравнение плоскости P:

1) проходящей через точку A перпендикулярно вектору ;

2) проходящей через три точки A, B и C;

3) проходящей через точку B и прямую .

План решения

Перед решением задачи следует тщательно изучить лекцию 10 из пособия [2].

1) Имеем: . Применяя формулу (44), стр. 5, получаем:

.

2) Вычислим два вектора: и . Параметры b и c подобраны так, что во всех вариантах векторы и линейно независимы. Поэтому для нахождения уравнения плоскости P можно применить формулу (45), стр. 6:

P: .

Раскладывая этот определитель по первой колонне, получим уравнение плоскости P в общем виде (см. определение 27 на стр. 7).

При подстановке в полученное уравнение координат точек A, B и C должны получаться верные равенства. Эта проверка должна обязательно присутствовать в решении данной задачи!

3) Перед решением этого пункта полезно усвоить пример 23, стр. 6. Из уравнения прямой следует, что она проходит через точку и имеет направляющий вектор . Рассмотрим два вектора: и . Во всех вариантах параметры a, b и c подобраны так, что векторы и линейно независимы. Таким образом, искомая плоскость P проходит через точку B и неколлинеарные векторы и . Применяя, как и в предыдущем пункте, формулу (45), получаем:

P: .

Полученное уравнение, как и в предыдущем пункте, нужно привести к общему виду.

Задача №8

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

План решения

Перед решением этой задачи следует изучить лекцию 11 из пособия [2].

Направляющим вектором прямой является вектор . В силу теоремы 19, стр.8, вектор перпендикулярен плоскости P. Геометрически ясно (это содержится также в пункте 1) теоремы 20 на стр. 8), что данные прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда , то есть . Во всех вариантах это неравенство выполняется. Решаем систему уравнений:

.

Подставляя три первых уравнения в четвертое, получаем:

.

Подставляя это значение t в первые три уравнения системы, получим координаты точки пересечения.

Задача №9

Треугольник ABC задан вершинами: . Найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CD данного треугольника;

3) проекцию точки C на сторону AB.

План решения

Для решения этой задачи необходимо хорошо знать материал лекции 12 пособия [2].

1) Для нахождения уравнения прямой AB воспользуемся формулой (50), стр. 12:

.

2) Из уравнения стороны AB находим ее угловой коэффициент (см. формулу (48) на стр. 11):

.

Так как высота CD перпендикулярна AB, то по формуле (52), стр. 13, получаем:

.

Применяя теперь формулу (47), стр. 11, записываем уравнение высоты CD:

CD: .

3) Очевидно, проекцией точки C на прямую AB является точка пересечения прямых AB и CD. Составляем систему уравнений этих прямых:

.

Находим значения x и y. Это и будут координаты проекции точки C на прямую AB.

ПОЯСНЕНИЕ

Вариант выбирается по двум последним цифрам зачетной книжки. Если последние две цифры образуют число, меньшее пятидесяти, то номер варианта совпадает с этим числом. Например, если последние две цифры – 48, то и вариант – 48.

Если последние две цифры образуют число, большее или равное пятидесяти, то номер варианта равен разности между этим числом и пятьюдесятью. Например, если последние две цифры – 61, то вариант – 11.

Таблица