IV. Задачи контрольной работы

ЗАДАЧА 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) – г); с использованием правила Лапиталя в пункте д).

Варианты:

1. а) б)

в) г) д)

2. а) б)

в) г) д)

3. а) б)

в) г) д)

4. а) б)

в) г) д)

5. а) б)

в) г) д)

6. а) б)

в) г) д)

7. а) б)

в) г) д)

8. а) б)

в) г) д)

9. а) б)

в) г) д)

10. а) б)

в) г) д)

ЗАДАЧА 2. Производственная функция Кобба-Дугласа выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов x и затрат труда y (в стоимостном выражении), A > 0, 0 < a < 1.

Требуется:

1. Найти максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении x + y = C.

2. Вычислить предельную фондоотдачу и предельную производительность труда в точке максимального выпуска.

Как изменится максимальный объем выпускаемой продукции при малых изменениях найденных объема основных фондов и затрат труда.

Значения величин A, a, C для каждого варианта приведены в табл. 2.

Таблица 2

Номер варианта	А	a	С
	1,01	0,25	2,0
	1,02	0,27	2,5
	1,03	0,30	3,0
	2,00	0,35	3,5
	2,01	0,37	4,0
	2,02	0,40	4,5
	3,00	0,42	5,0
	3,01	0,43	5,5
	3,02	0,44	6,0
	3,03	0,45	6,5

ЗАДАЧА 3. Производственная функция описывает зависимость производительности труда у от фондовооруженности (капиталовооруженности) х. Провести полное исследование функции и построить ее график. Выделить подмножества тех значений х (x > 0), при которых данная функция соответствует экономическому смыслу (с воз­растанием фондовооруженности производительность труда не должна уменьшаться).

Варианты:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

ЗАДАЧА 4. Найти неопределенный интеграл. В пунктах а), б) результат интегрирования проверить дифференцированием.

Варианты:

1. а) б)

в) ; г)

2. а) б)

в) ; г) ;

3. а) б)

в) ; г) ;

4. а) б)

в) ; г) ;

5. а) б)

в) ; г) ;

6. а) б)

в) ; г) ;

7. а) б)

в) ; г) ;

8. а) б)

в) ; г) ;

9. а) б)

в) ; г) ;

10. а) б)

в) ; г) .

ЗАДАЧА 5. Вычислить площадь фигуры (с точностью до 2-х знаков после запятой), ограниченной линиями.

Варианты:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

ЗАДАЧА 6. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию (задача Коши).

Варианты:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

ЗАДАЧА 7. Найти радиус сходимости, интервал сходимости, область сходимости степенного ряда.

Варианты:

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

V. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1 (вариант …). Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а) – г), с использованием правила Лопиталя в пункте д).

Решение. а)

Имеем неопределенность вида , так как пределы числителя и знаменателя равны нулю, т. е. . Следовательно, теорему о пределе частного здесь применить нельзя. Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:

Таким образом,

Ответ:

б)

Имеем неопределенность вида , так как пределы числителя и знаменателя равны нулю. Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, т. е. на . Таким образом,

Ответ: -3.

в)

Имеем неопределенность вида 1^¥, так как

Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечатель-

ный предел

Таким образом,

Ответ: .

г)

Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся формулой и первым замечательным пределом

Таким образом,

Ответ: 2.

д)

Имеем неопределенность вида 0⁰. Для раскрытия этой неопределенности преобразуем исходную функцию, воспользовавшись равенством

Таким образом,

В показателе степени имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя:

Окончательно имеем:

Ответ: 1.