Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов

Интеграл - одно из важнейших понятий математики. Он возник в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п.. Символ интеграла введён Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли в 1690 г. Вероятно, оно происходит от латинского слова integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Есть и другая теория, заключающаяся в том, что происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределённым интегралом.

В 1696г., появилось название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввёл И. Бернулли. Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввёл Лагранж в 1797 г. Латинское слово primitivus переводится как «начальный»:

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления ещё не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный нам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло ещё научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Дифференциальное исчисление – это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого учёного Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Определение определённого интеграла:

Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Теорема 1: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределённый интеграл.

Теорема 2: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то:

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведённой выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определённых интегралов.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (1)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk, то этот предел называют определённым интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определённый интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю. Условия существования определённого интеграла

1) Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то – при любом разбиении промежутка на части – она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счёт выбора в этой части точки можно было бы сделать f(x), а с ней и сумму, - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.

2) Для существования определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы было

(S - s) = 0

s = m ΔX, S = M ΔX,

где m и M - точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.[6]

Основные свойства определённого интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

1(1)

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых:

6. (аддитивность определённого интеграла). Если существуют интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то(2)

a < b(3)

8. (определённость определённого интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) (4) [a; b], то

(5) a >b.

9. (об оценке определённого интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.*

10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка (6) [a; b], что

т. е. определённый интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Пример 1.

Пример 2.

(7)