Павутинна модель ринку

Розглянемо найпростішу модель ринку одного товару і процес пошуку (“нащупування”) рівноважної ціни. Це є одна з основних проблем ринку, яка означає фактично торг між виробником (продавцем) і покупцем.

Ми уже розглядали функції попиту і пропозиції від ціни на товар, а також їх графіки. Зрозуміло, що в загальному випадку ці залежності нелінійні. Для спрощення ситуації, графіки цих функцій можна замінити прямими (графіками дотичних до цих кривих в заданих точках). Нехай спочатку виробник (продавець) визначає ціну на товар. Зрозуміло, що ця ціна є вищою за рівноважну (кожний виробник хоче мати найбільший прибуток від виробництва товарів). Покупець оцінює попит при цій ціні і визначає свою ціну , при якій цей попит рівний пропозиції . Ціна нижча рівноважної (кожний покупець хоче купити дешевше товар). В свою чергу продавець оцінює попит , що відповідає ціні , і визначає свою ціну і т.д. Процес торгу продовжується і в кінцевому випадку приведе до рівноважної ціни (павутина закручується). Якщо розглянути послідовність чисел то ця послідовність має границю

Ми розглянули збіжну модель. Зрозуміло, що може бути і розбіжна модель, тобто рівноважну ціну знайти не можливо.

Розглянемо малюнок.

В даній ситуації, нехай виробник (продавець) визначає ціну на товар. Очевидно, що ця ціна є вищою за рівноважну. Покупець оцінює попит при цій ціні і визначає свою ціну , при якій цей попит рівний пропозиції . Ціна нижче рівноважної і т.д.

Процес торгу продовжується і павутина розкручується. Якщо

розглянути послідовність чисел то ця послідовність розбігається: .

3.6. Існування границі монотонної числової послідовності

ТЕОРЕМА. Якщо послідовність є монотонно зростаючою (спадною) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

Доведення. Нехай послідовність є спадною, тобто

, і нехай вона обмежена знизу, тобто існує таке число , що

Тоді множина значень послідовності (x_n) має нижню грань, яку позначимо через Покажемо, що Оскільки а є нижня грань множини значень послідовності (x_n), то для всіх її значень виконується нерівність x_n >a.

Проте, згідно з властивістю нижньої грані, яке б ми не взяли як завгодно мале додатне число ε >0 знайдеться таке натуральне число , що . Тоді, беручи до уваги те, що послідовність спадна, дістаємо нерівність як тільки або як тільки n≥N. Отже, як тільки , що доводить теорему.

Примітка 1. Слід зауважити, що ця теорема дає ознаку, за якою можна встановити тільки існування границі числової послідовності, але не можна знайти числове значення границі.

Примітка 2. Умова монотонності в розглянутій теоремі є обов’язковою. Не всяка обмежена числова послідовність (x_n) має границю. Так послідовність , Î є обмежена , але границі немає.

Приклад 1. Довести, що послідовність

збігається, тобто, що існує

Розв’язування. Доведемо, що числова послідовність (x_n) є зростаючою. Справді,

оскільки З другого боку, використовуючи формулу (суми - перших членів геометричної прогресії ) маємо

Звідси випливає, що послідовність є обмеженою.

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що задана послідовність має границю.

Примітка 3. Зауважимо, що добуток послідовних натуральних чисел скорочено позначають , тобто і називають “ен факторіал”.

Приклад 2. Показати, що числова послідовність

, , Î має границю, яка дорівнює нулю.

Розв’язування. Послідовність (x_n), починаючи з певного

значення і для всіх його наступних значень, є спадною, оскільки

або .

Звідси бачимо, що як тільки , тобто , то .

Крім того, послідовність (x_n) є обмеженою знизу, бо члени цієї послідовності більші, наприклад, за нуль.

Отже, існує границя розглядуваної послідовності, причому

.

Справді, нехай Тоді

Перейшовши в рівності до границі, дістанемо

або .

Остання рівність можлива при a=0, що треба було довести.

3.7. Нескінчено малі величини та їх властивості

Означення 1. Якщо числова послідовність ( α _n) має своєю границею нуль (, то така послідовність називається нескінчено малою.

Наприклад, є нескінчено мала величина, тому що

Нескінчено малі величини будемо позначати .

Виходячи з означення границі числової послідовності