Дифференциальные уравнения. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Задача Коши. Общее и частное решение, интегральная кривая.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

3. Решение уравнений вида .

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

6. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

7. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет кратный корень.

8. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни.

9. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами высшего порядка (n >2).

10. Линейные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Теорема наложения.

11. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

12. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть – многочлен n степени.

13. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

14. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

15. Системы дифференциальных уравнении. Сведение системы двух дифференциальных уравнений к одному уравнению второго порядка.

Ряды.

1. Числовые ряды. Геометрическая прогрессия. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница.

4. Функциональные и степенные ряды. Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение функций в степенные ряды и их применение.

Задачи

1. Построить линии уровня функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Построить линии уровня функции .

4. Построить линии уровня функции .

5. Построить линии уровня функции .

6. Построить линии уровня и градиент функции в точке (1,1).

7. Посчитать частные производные функции второго порядка функции .

8. Посчитать частные производные первого порядка функции

9. Найти производную функции, заданной неявно

10. Найти точки экстремума функций

.

11. Найти экстремум функции при условии .

12. Найти экстремум функции при условии

13. Найти экстремум функции при условии . Решить задачу с помощью функции Лагранжа. Дать графическую интерпретацию полученного решения.

14. Найти экстремум функции при условии

Изобразить на плоскости условие и линии уровня функции в точках экстремума..

15. Производственная функция фирмы . Цены ресурсов . Найти наибольший выпуск продукции и спрос на ресурсы при издержках .

16. Производственная функция фирмы . Цены ресурсов . Фирма должна по договору обеспечить поставку 1000 ед. продукции. Найти минимальные издержки фирмы и спрос на ресурсы .

17. .

18.

19. .

20. .

21.

22. .

23. .

24. .

25. .

26.

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32.

33. .

34. .

35.

36.

37.

38. Найти корни уравнения в комплексных числах и найти их сумму и произведение.

39. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

40. .

41. .

42.

43.

44. .

45. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям .

46. .

47. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям .

48. .

49. .

50. .

51. .

52. .

53. .

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. Решить систему уравнений сведением к одному уравнению второго порядка

.

61. Исследуйте сходимость рядов:
а) , б) , в) , г) , д) .

62. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
а) , б) , в) , г) .

63. Найдите области сходимости функциональных рядов: а) , б) .

64. Найдите промежутки сходимости степенных рядов:
а) , б) , в) , г) , д) .

65. Разложите в ряд Маклорена функции:
а) , б) , в) .

66. Найдите приближенное значение интеграла , оцените погрешность.

67. Решите задачу Коши с помощью степенного ряда .