![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию
и ее производные, называется дифферен-циальным.
или
Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:
- дифференциальное уравнение первого порядка
- дифференциальное уравнение второго порядка
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).
Общее решение имеет вид: .
Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным.
Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:
3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Нахождение их общего и частного решений.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сводится к уравнению с разделенными переменными
, которое решается интегрированием обеих частей:
5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Отыскание его общего и частного решений.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
при является уравнением с разделяющимися переменными. Если
, то уравнение решается с помощью подстановки
,где
и
неизвестные функции, зависимые от
. После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.
Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию «» и ее производную «
» в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).
Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:
Пример 1. ;
при
.
Ищем решение уравнения в виде . Найдем производную этого произведения:
. Подставим функцию y и ее производную
в исходное уравнение:
В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель «», и вынесем его за скобку:
Подберем вспомогательную функцию «» так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Оба последних уравнения решаются разделением переменных.
Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию
.
1) ;
2)
;
;
;
;
Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функ-ции ), берем лишь его частное решение, соответствующее
. При решении второго уравнения для функции
находим общее решение уравнения.
Так как , то
- общее решение уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: при
. Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:
,
так как , то
Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:
.
Ответ: - общее решение дифференциального уравнения;
- частное решение дифференциального уравнения.
Пример 2. ;
Ищем решение в виде
Найдем производную: .
Подставим в исходное уравнение и
:
;
Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:
Подберем вспомогательную функцию из условия:
(1)
Тогда уравнение примет вид:
(2)
Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение , соответствующее
.
Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:
Подставим , в общее решение уравнения:
Пример 3.
Ищем решение в виде , тогда
.
Подставим и
в данное уравнение:
Потребуем, чтобы (1), тогда
(2)
Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при .
Так как , то
- это общее решение исходного дифферен-
циального уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям ;
и подставим их в найденное общее решение:
Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение :
Ответ: - общее решение;
- частное решение.
Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).
Пример 4. Найти частное решение уравнения:
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения
однородного уравнения и какого-либо частного решения
данного уравнения, то есть
Для нахождения составим характеристическое уравнение
, имеющее комплексные корни
. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде
(4)
где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставим в (4)
, имеем:
Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция
и числа
не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение
. Если же числа
являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение
.
Применяя эту теорему при , имеем:
.
Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :
Подставив в данное уравнение , получим:
,
Откуда ,
.
Следовательно, и
Найдем :
Используя начальные условия, получим систему
Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 231 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!