![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В последнее время использованию оптимизационных моделей для решения экономико-управленческих задач уделяется достаточно много внимания. В первую очередь это связано с развитием средств вычислительной техники, которая позволяет произвести вычисления параметров достаточно быстро.
Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств. Достоинством оптимизационных моделей является то, что они направлены на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.
Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.
Например, общий вид модели для расчёта оптимального варианта производства продукции на предприятии:
Целевая функция:
Система ограничений:
ограничения по сбыту
ограничения по мощности
ограничения по снабжению
условие неотрицательности
где - цена реализации единицы товара
-го вида;
- затраты на изготовление единицы товара
-го вида;
- количество товара
-го вида, подлежащее изготовлению;
- обязательный минимальный объём производства товара
-го вида, обусловленный необходимостью выполнения уже заключённых договоров или необходимостью сохранения своего присутствия с минимальным предложением на рынках, привлекательных в долгосрочном периоде;
- максимально возможный объём реализации товара
-го вида;
- норма затрат времени по изготовлению единицы товара
-го вида на оборудовании
-го вида;
- фонд рабочего времени на оборудовании
-го вида;
- норма затрат материала
-го вида на изготовление единицы товара
-го вида;
- имеющийся фонд
-го вида сырья.
Область практического применения оптимизационных моделей ограничена «жёсткой» схемой их построения. Например, на практике фонд рабочего времени , при необходимости можно увеличить за счет выхода на работу в выходные дни. Таким образом, ограничение по мощности изменится, и оптимальное решение уже будет иным.
Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов: А и Б. Исходные данные о выпускаемой продукции представлены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Данные о продукции предприятия
Характеристика | Продукция | |
А | Б | |
Маржинальная прибыль, руб./шт. | ||
Штучно-калькуляционное время, мин. | ||
Максимально возможный объём продаж, шт. | ||
Фонд рабочего времени, час. |
Определить объёмы выпуска продукции вида А и вида Б, максимизирующие прибыль предприятия.
Решение:
Обозначим искомые объёмы выпуска продукции и
.
Тогда целевая функция, направленная на поиск решения, максимизирующего маржинальную прибыль предприятия, будет иметь следующий вид: .
На искомые объемы выпуска продукции накладываются ограничения по максимальным объёмам продаж: ;
, а также ограничение по фонду рабочего времени, который составляет
мин.:
. Таким образом, оптимизационная модель запишется следующим образом:
Данную задачу можно решить графическим и аналитическим методами. Кроме того, в некоторых программных продуктах, например в EXCEL, встроены алгоритмы, позволяющие строить оптимизационные модели в диалоговом режиме.
Решение оптимизационных задач графическим методом рассмотрено в достаточно большом количестве учебных пособий. Графический метод позволяет наглядно определить оптимальные значения искомых параметров, если их количество не более двух.
При аналитическом подходе к решению задачи можно отметить, что объёмы выпускаемой продукции лимитирует фонд рабочего времени. Прибыль на единицу рабочего времени при изготовлении изделий вида А и вида Б составляет: руб./мин., и
руб./мин., соответственно. Так как изготовление изделия Б приносит больше прибыли на единицу рабочего времени, то необходимо изготовить 3000 изделий вида Б (трудоёмкость данной работы составляет
мин.). А оставшееся рабочее время (117600-60000=57600 мин.) затратить на изготовление изделий вида А:
.
Ответ: ,
.
При решении данной задачи мы исходили из «жёсткого» ограничения по фонду рабочего времени, чего на практике, как правило, не бывает. Работодатель имеет возможность увеличения фонда рабочего времени за счёт работы в две смены и в выходные дни. Поэтому, несмотря на то, что примерам поиска оптимальных объёмов производства при помощи линейных оптимизационных моделей в литературе уделено достаточно много внимания, практика решения подобных задач весьма ограничена.
Гораздо большее применение нашли на практике оптимизационные задачи на определение оптимальной структуры (примеры которых приведены ниже в заданиях) и стохастические (вероятностные) модели.
Пример. Предприятие выпускает продукцию пяти видов. Статистические данные об объёмах реализации продукции приведены в таблице 5.2.
Таблица 5.2
Объёмы реализации продукции, шт.
Вид продукции | Месяц | ||||
январь | февраль | март | апрель | май | |
А | |||||
Б | |||||
В | |||||
Г | |||||
Д |
Цена продукции и переменные затраты на её изготовление приведены в таблице 5.3. Определить сколько продукции каждого вида следует изготовить в июне месяце, если производственный бюджет предприятия – 300000 рублей.
Таблица 5.3
Цена и затраты на изготовление продукции, руб./шт.
Показатель | Продукция | ||||
А | Б | В | Г | Д | |
Цена | |||||
Переменные затраты |
Решение:
Используя данные, приведенные в таблице 5.2, определим параметры, описывающие вероятностный характер продаж продукции: среднее арифметическое значение - и среднеквадратическое отклонение -
.
Для изделия А среднее арифметическое значение составит:
,
Среднеквадратическое отклонение:
.
Аналогично рассчитаем значения данных параметров по остальным видам продукции. Результаты расчётов сведём в таблицу 5.4.
С вероятностью 99,9% (согласно правилу 3 ) можно говорить о том, что значение объема продаж попадает в интервал:
.
Определим для изделия А предельное минимальное значение объёма продаж. Вероятность реализации объёма продукции, находящегося в интервале , составляет - 1 (100%). А также предельное максимальное значение. Вероятность реализации объёма продукции, находящегося в интервале
, равна нулю:
;
.
Аналогично рассчитаем предельные значения для остальных видов продукции. Результаты расчётов сведём в таблицу 5.4.
Таблица 5.4
Результаты расчёта статистических характеристик
Показатель | Продукция | ||||
А | Б | В | Г | Д | |
Среднее арифметическое значение, шт. | |||||
Среднеквадратическое отклонение, шт. | 47,5 | 30,6 | 44,5 | 57,4 | 7,1 |
Предельное минимальное значение, шт. | |||||
Предельное максимальное значение, шт. |
Будем считать, что вероятность реализации продукции описывается равновероятным законом распределения (рис.5.1).
Рис. 5.1. Зависимость вероятности реализации продукции от объёмов
изготовления.
Тогда вероятность реализации продукта можно описать в следующем виде:
Учитывая, что производство продукции минимизируется бюджетом, определим затраты на производство продукции при минимальном и максимальном объёмах производства:
руб.;
руб.
Так как производственный бюджет находится в пределе (
), значения объёмов производства, максимизирующих прибыль, находятся в интервале
. Вероятность реализации объёма продукции в данном интервале описывается зависимостью
.
Параметры и
определим из условий:
.
Для изделия А имеем:
Аналогично рассчитаем коэффициенты линейной зависимости для остальных видов продукции. Результаты расчётов сведём в табл. 5.5. Маржинальную прибыль от реализации единицы продукции определим по формуле:
,
где и
- цена реализации и переменные затраты, соответственно;
- вероятность реализации продукции.
Таблица 5.5
Результаты расчета коэффициентов
Параметр | Продукция | ||||
А | Б | В | Г | Д | |
![]() | 2,262 | 1,6 | 3,342 | 4,152 | 2,386 |
![]() | 0,0035 | 0,0054 | 0,0037 | 0,0029 | 0,0236 |
В диапазоне вероятность продаж каждого изделия
, следовательно, ожидаемая маржинальная прибыль от реализации объёма соответствующего
составит:
.
В диапазоне вероятность продаж изделия описывается линейной зависимостью
, следовательно, ожидаемая прибыль от реализации одного изделия составит:
, а прибыль от реализации
изделий:
.
Таким образом, целевая функция, максимизирующая маржинальную прибыль от реализации товаров будет иметь следующий вид:
Последовательно преобразуем целевую функцию:
После преобразований оптимизационная модель будет иметь следующий вид:
Для решения полученной оптимизационной модели воспользуемся программным продуктом EXCEL. Для искомых значений объёмов продаж определим адреса ячеек А1…А5 в которых будут находиться их текущие значения. Целевая функция будет считаться в ячейке С1 (рис.5.2). Затраты на производство продукции в ячейке Е1 (рис.5.3).
Рисунок 5.2. Запись целевой функции в программе EXCEL.
Рисунок 5.3. Запись ограничения в программе EXCEL.
Далее выберем в диалоговом меню «сервис» и функцию «поиск решения». Если функция «поиск решения» не установлена, то выберем «надстройки» и установим данную функцию. В диалоговом окне функции «поиск решения» установим целевую ячейку С1 равной максимальному значению, изменяя ячейки А1…А5 (рис.5.4).
Рисунок 5.4. Вызов функции «поиск решения».
В окне меню ограничения выберем функцию «добавить». Сошлемся на ячейку Е1 и установим для её значения соответствующее ограничение (рис.5.5).
Рисунок 5.5. Диалоговое окно опции «добавить ограничение».
Далее нажмём кнопку «ОК» и вернёмся в меню функции «поиск решения» (рис.5.4). Нажмём кнопку «Выполнить». В ячейках А1…А5 появляются значения оптимальных объёмов продаж (рис.5.6).
Рисунок 5.6. Результаты поиска оптимального решения.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 584 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!