Розділ 2.2. Ймовірність повної групи подій. Протилежні події

Теорема: Сума ймовірностей подій , які утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

(2.2)

Доведення

Оскільки поява однієї з подій повної групи є подія достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то . Будь-які дві події повної групи несумісні, тому за теоремою додавання

Приклад:

Консультаційний пункт університету одержує пакети з контрольними роботами із населених пунктів Інгулець (подія А), Апостолово (подія В)і Нікополь (подія С). Ймовірність одержання пакета з Інгульця дорівнює 0,7, з Апостолово – 0,2. Знайти ймовірність того, що наступний пакет буде одержано з Нікополя.

Рішення

; ; .

Означення: Протилежними називаються дві єдиноможливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одну з двох протилежних подій позначити через , тоді другу прийнято позначати (не А).

Приклад: З ящика навмання вилучили деталь. Подія “витягли стандартну деталь” є протилежною до події “витягли нестандартну деталь”.

Теорема: Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці

. (2.3)

Доведення

Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

, , .

Приклад:

Ймовірність того, що робітник за одну зміну виготовить 10 деталей, дорівнює 0,15; ймовірність виготовити 9 деталей – 0,2; виготовити 8 або менше деталей – 0,65. Знайти ймовірність того, що за одну зміну робітник виготовить не менше 9 деталей.

Рішення

Подія А – робітник виготовив не менше 9 деталей, тобто або 9, або 10.

І спосіб:

ІІ спосіб: Подія - робітник виготовить менше 9 деталей.

Розділ 2.3. Множення ймовірностей

Означення: Добутком двох подій А і В називають подію , яка полягає в сумісній появі цих подій.

Приклад:

1. Якщо подія А – деталь стандартна, подія В – деталь пофарбована, тоді подія - деталь і стандартна і пофарбована (і та і інша одночасно).

2. Події А, В і С – поява герба при першому, другому і третьому киданні монети відповідно, тоді подія - поява „герба” при трьох киданнях монети.