Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функции , если

.

Другими словами, задача нахождения первообразной равносильна

восстановлению функции по ее производной .

Например, для функции , первообразная - .

Как видим, первообразная определяется не единственным образом, а

с точностью до постоянного слагаемого.

Вообще говоря, не любая функция имеет первообразную. Можно доказать, что любая непрерывная функция имеет первообразную, то есть непрерывность является достаточным условием существования первообразной для заданной функции.

Множество всех первообразных функции функций называется неопределенным интегралом и обозначается символом , таким образом:

, .

Отметим, что операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны в следующем смысле:

1) ,

2) .

Таблица интегралов

1) 7) ,

2) , 8) ,

3) , 9) ,

4) , 10) ,

5) , 11) ,

6) , 12) .

Нетрудно заметить, что большинство формул таблицы получено из таблицы производных.

Примеры применения формулы 1):

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Как мы увидим в дальнейшем, особую роль при вычислении интегралов играют формулы 9) – 12). Рассмотрим примеры их применения:

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7.

.