Непрерывное начисление сложных процентов

Как показывают расчеты, величина коэффициента наращения по схеме сложных процентов и величина эффективной годовой процентной ставки при достаточно частых начислениях процентов слабо зависят от величины . Приведем численный пример такой зависимости для случая = 1, = 12% годовых (см. таблицу). Значения приведены с точностью до одного процентного пункта, т.е. до 0,01%, а значения коэффициента наращения А – с точностью до 0,0001.

m
A	1,1200	1,1255	1,1268	1,1272	1,1275	1,1275
	12,00	12,55	12,68	12,72	12,75	12,75

Как видно, наибольшее различие коэффициентов наращения и эффективных годовых процентных ставок имеет место при малых (например, при переходе от ежегодного начисления процентов к ежеквартальному). Совпадение (с указанной выше точностью) чисел в двух последних столбцах таблицы свидетельствует о существовании предельных значений величин A и при .

Действительно, такой предел существует. Его можно найти с использованием известного в математике второго замечательного предела, что позволяет получить простое выражение для коэффициента наращения при непрерывном начислении сложных процентов:

.

В этой формуле e = 2,718... - основание натуральных логарифмов, - процентная ставка, называемая в случае непрерывных процентов также интенсивностью наращения или силой роста . Смысл этого названия становится ясен, если продифференцировать по времени полученное выше выражение для коэффициента наращения:

, откуда .

Таким образом, величина пропорциональна скорости роста итоговой суммы.

Выражение для эффективной годовой процентной ставки в случае непрерывного начисления сложных процентов также имеет простой вид:

.

Следует отметить, что в реальной финансовой практике непрерывное начисление сложных процентов не применяется. Причина этого заключается не только в очевидных практических трудностях, но главным образом в том, что непрерывное начисление процентов дает почти такие же результаты, как и достаточно частое дискретное начисление – например, несколько раз в месяц. Ценность модели непрерывного начисления сложных процентов заключается в ее простоте - соответствующие формулы для итога, коэффициента наращения и эффективной годовой процентной ставки не содержат параметра , поэтому они удобны для теоретического описания процессов наращения при многократных начислениях процентов и широко используются в финансово-экономическом анализе.