Раздел V. Динамическое и выпуклое программирование

Задача 13. (13.1- 13.100). Работа предприятия планируется на четырехлетний период. Начальный запас средств равен a. Средства х, вложенные в i – м году, i = 1,2,3,4 в предприятии П₁ приносят к концу этого года доход ƒ_i(х) = a₁х² и возвращаются в размере g_i(х) = y_iх.

Аналогично, для предприятия П₂ эти же величины описываются функциями g_i(х) =b_iх² и Y_i(х) = d_iх, о < d_i < 1. В начале каждого года все имеющиеся средства перераспределяются между предприятиями. Требуется:

1. Определить способ распределения средств, максимизирующий суммарный доход за весь четырехлетний период при условии, что доход в производство не вкладывается, и новые средства не поступают;

2. Составить в общем виде рекуррентные соотношения при условии, что 5% дохода, полученного в данном году, вкладывается в производство в следующем году (но новые средства не поступают);

3. В условиях предыдущего пункта в начале каждого года поступают дополнительные средства в количестве t_к , к – номер года. Составить рекуррентные соотношения.

№	a1	b1	g1	d1	a2	b2	g2	d1	a3	b3	g3	d3	a4	b4
	0,5	0,2	0,5	0,7	0,7	0,5	0,3	0,7	0,6	0,4	0,3	0,6	0,5	0,6
	0,5	1,5	0,9	0,4	0,9	0,6	0,7	0,9	0,7	0,6	0,5	0,8	0,6	0,5
	1,2	1,8	0,5	0,3	1,0	2,5	0,9	0,5	2,5	1,1	0,4	0,9	2,0	2,3
	1,0	1,6	0,6	0,2	2,0	1,2	0,3	0,7	1,2	1,6	0,6	0,4	2,5	2,0
	1,8	0,9	0,4	0,9	0,9	0,6	0,6	0,8	1,0	0,5	0,3	0,7	0,7	1,1
	1,0	2,5	0,9	0,5	1,2	0,5	0,7	0,9	2,0	2,5	0,9	0,6	1,1	0,7
	0,8	1,3	0,5	0,3	3,0	0,8	0,3	0,8	1,3	2,5	0,7	0,4	1,9	2,8
	0,8	1,5	0,8	0,5	1,5	1,0	0,4	0,6	1,2	2,5	0,9	0,1	1,8	1,5
	1,1	0,8	0,5	0,7	0,5	0,3	0,3	0,7	0,9	0,7	0,3	0,6	0,4	0,6
	0,2	1,2	0,9	0,4	1,0	0,8	0,7	0,9	0,8	0,6	0,5	0,8	0,6	0,4
	1,1	1,8	0,5	0,3	1,2	3,0	0,9	0,5	3,2	1,9	0,4	0,9	1,4	2,2
	1,0	1,8	0,6	0,2	2,4	1,6	0,3	0,7	1,4	1,7	0,6	0,4	2,4	1,8
	0,8	1,5	0,8	0,5	1,2	0,9	0,5	0,7	1,2	0,7	0,3	0,7	0,9	1,1
	0,7	1,9	0,9	0,5	1,6	1,0	0,4	0,8	0,9	1,5	0,9	0,6	1,1	0,9
	2,0	2,7	0,5	0,3	4,0	1,0	0,3	0,8	2,5	3,2	0,7	0,4	1,3	1,8
	2,0	2,5	0,8	0,5	1,5	0,9	0,4	0,6	1,5	3,0	0,9	0,1	2,0	1,5
	0,5	1,15	0,7	0,4	1,5	0,9	0,5	0,7	0,95	0,5	0,3	0,9	0,3	0,6
	0,3	1,1	0,9	0,4	1,0	0,7	0,4	0,8	0,5	0,4	0,5	0,8	0,6	0,3
	1,2	2,2	0,5	0,3	1,7	4,0	0,9	0,5	3,2	1,4	0,4	0,9	2,8	3,2
	1,3	1,8	0,6	0,2	1,5	0,9	0,3	0,7	1,2	1,4	0,6	0,4	1,5	1,0
	0,8	1,2	0,6	0,9	0,7	0,4	0,8	0,9	2,0	1,5	0,3	0,7	1,0	1,1
	0,7	1,8	0,9	0,5	1,5	0,9	0,4	0,8	0,7	1,3	0,9	0,6	1,1	1,0
	1,2	2,0	0,5	0,3	4,2	1,2	0,3	0,8	1,5	2,9	0,7	0,4	3,7	4,0
	2,0	3,4	0,8	0,5	3,7	3,0	0,4	0,6	1,3	2,2	0,9	0,1	0,8	1,2
	1,1	1,4	0,8	0,6	1,1	0,9	0,4	0,6	0,9	0,4	0,1	0,7	0,2	0,6
	2,0	2,4	0,9	0,4	0,8	1,0	0,6	0,3	0,4	0,2	0,5	0,8	0,6	0,2
	1,9	3,0	0,5	0,3	2,0	4,8	0,9	0,5	4,0	1,5	0,4	0,9	3,8	4,5
	0,9	0,4	0,6	0,2	1,4	0,7	0,3	0,7	1,5	1,6	0,6	0,4	0,9	0,6
	0,5	0,8	0,6	0,5	1,5	1,2	0,4	0,6	1,7	1,2	0,3	0,7	0,8	1,1
	1,2	1,9	0,7	0,4	1,5	1,2	0,3	0,6	0,9	0,2	0,9	0,6	1,1	0,8
	1,4	2,0	0,7	0,3	1,2	1,6	0,6	0,2	1,2	1,0	0,4	0,6	0,9	1,5
	1,3	1,5	0,3	0,1	3,4	2,0	0,3	0,7	1,1	2,0	0,9	0,7	3,1	2,5
	0,8	1,8	0,9	0,4	1,5	0,9	0,4	0,8	1,2	0,9	0,5	0,9	0,2	0,5
	2,1	2,8	0,8	0,3	1,3	1,0	0,1	0,5	1,5	1,4	0,2	0,6	0,5	0,2
	0,8	1,5	0,7	0,3	1,3	1,8	0,6	0,2	1,2	0,8	0,4	0,6	1,5	2,5
	1,3	1,6	0,4	0,2	1,7	1,0	0,5	0,9	1,4	2,9	0,9	0,1	2,0	1,2
	1,8	1,0	0,4	0,7	1,0	1,9	0,8	0,4	0,9	1,3	0,9	0,5	0,4	0,8
	1,8	1,3	0,3	0,6	1,1	1,8	0,6	0,2	1,9	1,5	0,3	0,8	0,8	0,4
	1,0	1,8	0,7	0,3	1,4	1,9	0,6	0,2	1,4	0,8	0,4	0,6	2,0	3,5
	1,5	1,8	0,3	0,1	4,0	2,0	0,3	0,7	2,3	3,3	0,9	0,7	3,5	2,5
	0,3	1,5	0,9	0,4	2,0	1,0	0,4	0,8	1,7	1,2	0,5	0,9	0,3	0,8
	1,5	2,4	0,8	0,3	1,7	1,4	0,1	0,5	1,3	1,1	0,2	0,6	0,8	0,3
	0,4	1,3	0,7	0,3	1,4	2,1	0,6	0,2	1,8	1,1	0,4	0,6	3,5	4,2
	1,2	1,7	0,4	0,2	2,0	0,8	0,5	0,4	1,9	5,0	0,9	0,1	4,0	3,7
	1,9	1,5	0,4	0,7	0,5	0,9	0,8	0,4	0,5	0,95	0,9	0,5	0,7	0,9
	2,1	1,4	0,3	0,6	1,3	1,9	0,6	0,2	1,7	1,3	0,3	0,8	0,9	0,7
	1,1	2,0	0,7	0,3	1,3	2,1	0,6	0,2	2,0	1,1	0,4	0,6	4,7	5,1
	1,6	2,0	0,3	0,1	4,0	2,3	0,3	0,7	1,5	3,0	0,9	0,7	5,0	4,2
	0,2	0,8	0,9	0,4	1,2	0,4	0,4	0,8	1,3	0,9	0,5	0,9	0,4	0,7
	2,0	3,0	0,8	0,3	1,8	1,4	0,1	0,5	1,7	1,5	0,2	0,6	0,7	0,4
	0,8	0,9	0,85	0,8	1,0	1,1	0,6	0,5	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	1,1
	0,8	1,0	0,7	0,6	1,1	1,2	0,7	0,5	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,0
	0,7	0,8	1,0	0,9	1,0	0,9	0,7	0,8	0,95	1,1	0,8	0,7	1,2	1,1
	1,1	1,0	0,7	0,8	1,3	1,5	0,9	0,8	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	0,8
	1,2	1,1	0,5	0,6	1,1	1,3	0,6	0,5	1,3	1,4	1,0	0,9	1,1	1,0
	1,0	1,2	0,7	0,6	0,9	1,0	0,85	0,7	0,8	0,7	0,43	0,6	0,7	0,9
	0,9	1,1	1,0	0,9	1,1	1,0	0,7	0,8	0,9	0,8	0,6	0,5	1,0	1,1
	1,0	1,1	1,0	0,8	0,9	0,7	0,5	0,7	1,0	0,9	0,5	0,6	1,3	1,2
	0,7	0,6	0,8	0,9	0,8	1,0	1,0	0,9	0,9	0,7	0,7	0,95	0,9	0,7
	1,0	0,8	0,7	0,8	1,1	1,0	0,9	1,0	0,9	1,0	0,9	0,8	0,8	0,9
	1,1	1,3	0,5	0,4	0,8	0,6	0,7	0,9	1,2	1,1	0,6	0,7	0,9	1,0
	1,2	1,1	0,7	0,8	0,9	1,1	0,7	0,4	0,7	0,5	0,4	0,6	0,8	1,1
	0,9	0,7	0,6	0,8	1,2	1,0	0,5	0,7	0,9	1,0	0,8	0,7	1,0	1,2
	0,7	0,5	0,7	0,8	0,6	0,5	0,8	0,9	1,0	0,8	0,6	0,9	1,2	1,0
	1,2	1,1	0,6	0,8	0,8	0,9	0,7	0,6	0,7	0,5	0,7	0,9	0,8	0,9
	0,8	0,9	0,85	0,8	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	1,1	0,6	0,5	1,0	1,1
	0,8	1,0	0,7	0,6	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,2	0,7	0,5	1,1	1,0
	0,8	1,0	0,7	0,6	1,1	1,0	0,7	0,8	0,9	0,7	0,6	0,8	1,1	1,2
	1,2	1,1	0,7	0,8	0,8	1,1	0,6	0,5	0,9	1,1	0,7	0,4	0,7	0,5
	1,2	1,1	0,7	0,8	0,7	0,8	1,0	0,9	0,9	1,1	0,8	0,7	1,0	0,9
	0,9	0,8	0,7	0,8	1,1	1,0	0,7	0,8	1,3	1,4	0,9	0,8	0,7	0,8
	1,1	1,0	0,5	0,6	1,3	1,4	1,0	0,9	1,2	1,1	0,5	0,6	1,1	1,3
	0,9	0,7	0,5	0,6	0,7	0,9	0,7	0,6	0,9	1,0	0,85	0,7	1,2	1,1
	1,0	1,1	0,8	0,7	0,7	0,8	0,6	0,5	0,9	1,1	1,0	0,9	1,0	1,1
	0,9	0,8	0,5	0,6	0,9	1,0	0,8	0,7	1,0	1,1	0,9	0,8	0,9	0,8
	0,9	0,7	0,5	0,6	1,3	1,2	0,5	0,6	1,0	1,1	1,0	0,8	1,0	0,9
	1,0	0,7	0,7	0,8	0,9	0,7	0,8	0,9	0,8	1,0	1,0	0,9	0,7	0,6
	1,0	1,3	1,1	0,9	0,8	0,6	0,7	0,9	0,5	0,8	0,8	0,4	1,2	1,1
	0,8	1,1	0,7	0,5	0,8	1,0	1,1	0,9	0,7	0,6	0,5	0,7	0,8	0,9
	1,2	1,0	0,8	0,9	1,0	0,8	0,6	0,9	0,7	0,6	0,7	0,8	0,6	0,5
	1,5	1,3	0,7	0,9	0,8	0,95	0,6	0,5	0,5	0,3	0,8	0,9	1,0	1,1
	2,0	1,8	0,5	0,7	0,9	1,1	0,6	0,4	0,7	1,0	1,0	0,8	1,4	1,3
	1,2	1,5	0,8	0,7	0,3	0,7	1,0	0,8	0,6	0,8	0,9	0,6	1,0	1,2
	0,8	1,0	1,1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,7	1,0	0,9	0,5	0,7	1,3	1,0
	0,5	0,8	0,8	0,4	0,7	0,8	0,4	0,2	1,0	0,8	0,5	0,7	1,0	1,5
	1,2	0,8	0,8	1,1	1,1	0,9	0,5	0,7	1,0	1,1	0,7	0,5	1,2	1,0
	0,8	0,6	0,7	0,9	0,7	0,8	0,5	0,4	0,9	0,7	0,4	0,6	1,2	1,3
	1,1	1,0	0,8	0,9	0,6	0,8	0,9	0,6	1,0	0,8	0,5	0,7	0,7	0,9
	0,6	0,8	0,9	0,7	1,0	0,9	0,6	0,8	1,1	0,9	0,6	1,0	0,8	0,6
	1,0	0,7	0,9	1,1	0,9	0,7	0,5	0,6	1,0	1,1	0,9	0,8	0,9	0,5
	0,7	0,95	0,6	0,5	1,2	0,9	0,7	0,8	0,9	0,7	0,7	0,8	0,8	1,0
	0,8	1,1	1,0	0,9	0,9	0,7	0,7	0,8	1,2	1,4	0,7	0,5	1,0	1,2
	0,8	1,0	0,9	0,8	0,9	0,7	0,7	0,5	1,4	1,2	0,4	0,6	1,3	1,2
	0,9	0,8	0,7	0,8	1,0	1,2	0,8	0,6	0,7	0,8	0,7	0,5	0,9	1,1
	1,2	1,4	0,8	0,7	0,7	0,9	0,9	0,8	0,8	0,7	0,8	0,9	1,0	0,8
	0,9	1,1	0,9	0,8	1,1	0,9	0,6	0,8	1,1	1,2	0,5	0,4	1,2	1,0
	1,2	0,9	0,6	0,8	1,0	1,2	0,8	0,7	0,7	0,5	0,7	0,8	1,4	1,6
	0,7	1,0	0,8	0,6	0,5	0,3	0,7	0,8	0,6	0,7	0,9	0,8	0,9	1,2
	1,5	1,3	0,6	0,8	1,0	0,8	0,4	0,6	0,4	0,6	0,9	0,7	1,0	0,9
	0,7	0,95	0,6	0,5	2,0	1,7	0,3	0,5	1,0	0,9	0,4	0,5	1,5	1,6

Задача 14. (14.11 -14.100)

14.1- 14.75. Это стандартная задача о загрузке контейнера («задача с рюкзака»): в контейнер вместимостью Y должны быть погружены предметы (неделимые) А₁, А₂ ……, А_к . Предмет А_i имеет «объем» V_i и обладает ценностью С_i. Требуется определить загрузку контейнера, при которой максимальна суммарная ценность погруженных предметов.

№	Y	С1	С2	С3	V1	V2	V3
					4,5
						3,4	1,2
			4,5

14.76- 14.85. Задача о замене оборудования. Производительность машин зависит от ее возраста: доход, приносимый машиной за год равен ƒ (t), где t – ее возраст в начале года. В начале каждого года следует принять одно из решений: а) продолжать работу на старой машине; б) подвергнуть ее реставрации, «омолаживающей» машину на один год и требующей затрат r(t); в) продать старую машину по цене s (t) и купить новую стоимостью S₀. Операции б) и в) считаются, происходящими мгновенно. Определить оптимальное поведение на период в n (n = 4) лет с целью получения максимального дохода. В начале периода возраст машины равен t₀.

Во всех вариантах: ƒ (t) = А - к t; r(t) = aА + 10 t; s (t) = s_i – 100 - 50 t, s_i = 1000. Значение коэффициентов А,a,к, t₀ даны в таблице.

№
А
К
a	0,1	0,04	0,03	0,08	0,05	0,02	0,5	0,01	0,02	0,08
t0

14.86 – 14.95. Задача о повышении надежности. Техническое устройство состоит из n (n = 3) элементов, соединенных последовательно, т.е. отказ любого из них влечет за собой отказ всего устройства. Вероятность безотказной работы i-го элемента р_i.

Для повышения надежности каждый элемент можно продублировать идентичными ему элементами (см. рисунок): каждый блок дублирующих элементов отказывает лишь при отказе всех этих элементов. На повышение надежности устройства выделена сумма S_i. Цены элементов равны соответственно С_i, i = 1,2 ….., n. Определить количества дублирующих элементов в каждом блоке так, чтобы была обеспечена максимальная вероятность безотказной работы всей системы (при затратах £ S₀ ).

№
Р1 С1	0,8	0,9	0,7	0,7	0,9	0,8	0,85	0,6	0,75	0,9
Р2 С2	0,9	0,85	0,8	0,5	0,8	0,6	0,9	0,85	0,9	0,7
Р3 С3	0,7	0,8	0,5	0,4	0,7	0,5	0,7	0,7	0,6	0,8
S0

14.96 – 14.100. Используя схему динамического программирования, найти наибольшее значение функции.

14.96 ƒ (х) = 2х₁² + 3 х₂² + х₃² в области, определенной неравенствами 3х₁ + х₂ + 4х₃£ 10, х_i ³ 0.

14.97. ƒ (х) = 5х₁ + 7 х₂² + х₃² в области, определенной неравенствами 2х₁ +5 х₂ + 8х₃£ 20.

14.98. ƒ (х) = х₁ х₂ ….. х_n в области х₁ + х₂ + ……. х_n£ а, х_i ³ 0.

14.99 ƒ (х) = х₁ х₂ ….. х_n в области х₁ + 2х₂ + ……. 3х₃ + ……..n х_n £ а, х_i ³ 0.

14.100. ƒ (х) = 4х₁ + 5х₂ +2х₃ в области, определенной неравенствами 2х₁ + 3х₂ + 2х₃ £ 10, 4х₁ + 2х₂ + 5х₃£ 12, х_i ³ 0,целые.

Задача 15. (15.1 – 15.50) Для каждой из приведенных ниже функций:

1. Проверить выпуклость во всем пространстве;
2. Проверить выполнение условий применимости метода наискорейшего спуска для ее минимизации;
3. Найти несколько (не менее трех) начальных приближений по этому методу, исходя из выбранной начальной точки.

15.1. х₁² – х₁ х₂+ 3х₂² + 1/2ln(1 + х₂²) - 2 х₁- 5х₂.

15.2. х₁² – х₁ х₂+ 5х₂² + 1/2аrctg(1 + х₁²) - 2 х₁- 6х₂.

15.3 х₁² – 2х₁ х₂+ 5х₂² + 1/2ln(1 + х₁²)/1+ х₂² - 2/5 х₁- 18/5х₂.

15.4. х₁⁴ + х₁³+ 5х₁² + х₁ х₂ + 2х₂² -13/4 х₁ + 2,5х₂.

15.5. х₁⁴ + 3х₂⁴+ 3х₁² - 4х₁ х₂ + 8х₂² -6 х₁ - 8х₂.

15.6. 2х₁⁴ + х₂⁴+ 5х₁² - х₁ х₂ + 3х₂² -23х₁ + 1,4х₂.

15.7. 2х₁⁴ + 5х₂⁴+ х₁² + х₁ х₂ + 3х₂² - 12х₁ - 11х₂.

15.8.

15.9.

15.10.

15.11. 3х₁² - 2 х₁ х₂ + 4х₂² - 3х₁ + 2х₂+ 5.

15.12. 4х₁² + х₁ х₂ + 5х₂² - 50х₁ + 60х₂- 5.

15.13. 7х₁² + 8х₂² - 2х₁ х₂ – х₁ + х₂ .

15.14. 3х₁² - 3 х₁ х₂ + 9х₂² + 5х₁ - 8х₂+ 5.

15.15. 3х₁² - 2 х₁ х₂ + 6х₂² + 10х₁ - 12х₂+ 3.

15.16. 18х₁² - 4 х₁ х₂ + 6х₂² + 16х₁ - 16х₂+ 2.

15.17. 9х₁² - 5 х₁ х₂ + 21х₂² - 14х₁ – 44,5х₂.

15.18. 5х₁² - х₁ х₂ + х₂² - 10х₁ - х₂- 5.

15.19.

15.20.

15.21. х₁⁴ + 2х₁² - х₁ х₂ + 4 – 7,6х₁ – 2,4х₂ .

15.22. 2х₁⁴ + х₂⁴ + 10х₁² + 3х₁ х₂ + х₂² – 9,5 х₁. 15.23.

15.24. х₁² - х₁ х₂ + 5х₂² - 4х₁ - 5х₂- 6.

15.25. 2х₁² + 5х₁ х₂ + 4х₂² - 3х₁ - 5х₂.

15.26. 5х₁² + 3х₁ х₂ + х₂² + 3х₁ - 4х₂.

15.27. 3х₁² + 2х₂² + 5 х₃² + 2х₁ х₂ - х₁ х₃ + 5х₂ х₃ + 4х₃ - х₂ .

15.28. 3х₁² + 2х₂² + 2х₃²- 2х₁ х₂ + 4 х₁ х₃ - 2х₂ х₃ + 5х₁ - 3х₂ .

15.29. х₁² + 5х₂² + 3х₃²- 4х₁ х₂ + 2 х₁ х₃ - 2х₂ х₃ - 4х₂ – х₃ .

15.30. 3х₁² + 2х₂² + 3х₃²- 2х₁ х₂ + 4 х₂ х₃ - 2х₁ - 2х₂ + х₃ .

15.31.

15.32. 5х₁² + 3х₁ х₂+ 4х₂² - 2ln(1 + х₁²)+ 5х₁ - х₂

15.33.2х₁² + 3х₂² + 4х₃²+ 4х₁ х₂ + 4 х₂ х₃ - 2х₁ х₂ +3х₁ – х₂ .

15.34.

15.35. 5(х₁² + 3х₂² + х₃²+ х₁ х₂ + х₂ х₃ +1)^3/2+ 3х₁ – х₂ .

15.36. (х₁ - 3х₂ -1)²+ (6х₁ - х₂ - х₃ -2)²+ (2х₁ + 5х₂ + х₃ -1)².

15.37.

15.38. 4х₁² + 3х₂² + 2х₃²+ 4х₁ х₂ - 2 х₁ х₃ - 4х₂ х₃ +2х₁ – 3х₂ .

15.39. 5х₁² + 2х₂² + 5х₃²+ х₁ х₂ + 2х₁ х₃ - 3х₂ х₃ +4х₁ – 5х₂ + х₃ .

15.40. (4х₁ - 2х₂ + х₃ - 5)²+ (х₁ + х₂ +5х₃ -1)²+ (2х₁ - х₂ + х₃ -4)².

15.41. х₁² + 3х₁ х₂ + 2х₂² - х₁ + 5х₂ + е.

15.42. х₁² - х₁ х₂ + 5х₂² + 6х₃²+ 4х₁ х₃ - х₂ х₃ + 5х₂ - х₃ .

15.43. 2х₁² + 6х₂² + 8х₃²- 2х₁ х₃ - х₁ х₃ +5х₂ х₃ .

15.44. х₁⁴ + х₂⁴ + 2х₁²- х₁ х₂ + х₂ ² + х₁ + 5х₂ .

15.45. х₁⁴ + х₂⁴ + 4х₁² + х₂ ² + 3 х₃² + х₁ х₂ - х₂ х₃ +х₃ х₁ .

15.46.

15.47. 2х₁² + 3х₂² + х₃² + х₁ х₂ + х₁ х₃ - х₂ х₃ - 5х₂ + х₁ + х₃ .

15.48. 6х₁² + 3х₂² - 5х₁ х₂ + 1ln(1 + х₁²+ х₂²).

15.49. 3х₁² - х₁ х₂ + 4х₂² + 5х₃²- 3х₂ х₃ - 2х₁ х₃ .

15.50.

Задача 16. (№ 16.1 – 16.50). Дана функция.

ƒ (х) = 3х₁² - х₁х₂ + х₂²+ 5х₃²- 23х₁ - 9х₂ + 10.

В каждом номере заданы ограничения, описывающие некоторою область на плоскости. Требуется:

1. Установить выпуклость области и нарисовать ее;
2. Определить точки, в которых активны, по крайней мере, два ограничения;
3. Для каждой из этих точек изобразить на рисунке множество допустимых направлений;
4. Описать множество допустимых направлений системой соответствующих неравенств ограничений;
5. Из наглядных соображений выяснить, являются ли точки из п.2 точками функции в рассматриваемой области;
6. Рассмотреть тот же вопрос, исходя из системы неравенств п.4;
7. Выяснить, применима ли теорема Куна- Таккера. Если да, то записать ее условия в общем виде и для выделенных ранее точек;
8. Составить штрафную функцию;
9. Составить функцию Лагранжа и записать для нее соотношения, определяющие седловую точку;
10. Вычислить несколько начальных приближений градиентного метода определения седловой точки функции Лагранжа.

16.1. х₁² + х₂² £ 3, х₂ ³ 2 х₁² , х₁ ³ 0.

16.2. х₁² + х₂² £ 5, х₁² + х₂² - 10 х₂ + 15 £ 0 , х₁ ³ 0.

16.3. х₂ > х₁², х₂ £ 8 - 3 х₁² , х₂ ³ 1.

16.4. 2х₁² + х₂² £ 16, х₂ ³ Ö 3 х₁², х₁ ³ 0.

16.5. 2х₁² + х₂² £ 16, х₂ - Ö 2х₁ £ 0, х₂ + Ö 2х₁ ³ 0.

16.6. х₁² + 12х₂² £ 16, х₁² + х₂² £ 5, 2х₂ + х₁ ³ 0.

16.7. х₁² + х₂² £ 3, х₂ - 2х₁ ³ 0.

16.8. х₁² + х₂² £ 5, 5х₁ + 8х₂² £ 28, х₁ + х₂ + 1 ³ 0.

16.9. х₁² + х₂²+ 4 х₂ + 12 £ 0, х₁² + х₂²+ 2х₂ £ 0, х₁ + 1 ³ 0.

16.10. х₁² + х₂²+ 2 х₂ £ 0, х₁² - 4х₂²- 2 £ 0.

16.11. х₁² - х₁ £ 0, х₁ + х₂ -2 £ 0.

16.12. 3х₁ + х₂ -4 ³ 0, х₁² - х₂ £ 0.

16.13. х₁² - х₂ - 15 £ 0, 7х₁ ^- х₂ -27 ³ 0.

16.14. [х₁] + [х₂] £ 4, х₁² + х₂² £ 10.

16.15. х₁² + х₂² £ 16, х₁² - 8 х₁ + х₂² £ 0.

16.16. 3х₁² + 2х₂² - 30 £ 0, х₂ - 3х₁ £ 0.

16.17. 3х₁² + 2х₂² - 30 £ 0, 9х₁ - 2х₂ ² ³ 0.

16.18. х₁ - 2х₂ + 5 £ 0, 10х₁ + 2х₂ + 6 £ 0, х₂ ³ х₁ .

16.19. х₂ ³ х₁² – 11/4, х₁ + х₂ £ 1.

16.20. 5х₁² + 5х₂ + 22 £ 0, 10х₁ - 5х₂ - 37 ³ 0.

16.21. 11х₂ - 8/х₁ £ 0, 11х₁ - 11х₂ - 3 £ 0, -3 £ х₂ £ 0.

16.22. 7х₂ + 4/х₁ £ 0, х₁ - 7х₂ - 5 £ 0, х₁ ³ 0.

16.23. х₂ - х₁² + 11/7 ³ 0, 7х₂ + 4/х₁ £ 0, х₁ ³ 0,5.

16.24. х₂ + 5/х₁ £ 0, 6х₁ - 2х₂ - 17 ³ 0, х₁ ³ 0.

16.25. х₂ + 5/х₁ £ 0, 4х₁² + 4х₂² £ 41, х₁ ³ 0.

16.26. х₂ + 5/х₁ £ 0, 2х₁ - х₁² + 13 ³ 0, х₁ ³ 0.

16.27. х₂ + 5/х₁ £ 0, 2х₁ + 4х₂² - 11£ 0, 2 х₂ ³ -25, х₁³ 0.

16.28. 5х₂ - 28/х₁ £ 0, х₁ - 5х₂² - 12£ 0,-3£ х₂ £ 0.

16.29. 5х₂ - 28/х₁ £ 0, 49х₁² + 600х₂² £4900, х₁£ 0.

16.30. 5х₂ - 28/х₁ £ 0, 5х₂ + х₁² + 10£ 0, -3£ х₂ £ 0.

16.31. 5х₂ - 28/х₁ £ 0, 5х₂ - х₂³ 0, х₂ £ -2.

16.32. х₁² - 2х₂ - 2 £ 0, х₁² + 4х₂² £ 8.

16.33. х₁² + 4 х₂³ £ 8, 2х₁ - х₂ + 5³ 0.

16.34. х₁² + 4 х₂² £ 8, х₁² - 8х₂ + х₂² + 11£ 0.

16.35. 6х₁² + 4 х₂² £ 8, х₂ - Ö2/ х₁ + 1 ³ 0.

16.36. х₂ ³ 3/ х₁, х₂ £ 4 + 3/ х₁ – 4.

16.37. х₂ ³ 8/ х₁, х₂ £ 3х₁ – 40/ х₁ – 8.

16.38. х₂ ³ 10/ х₁, х₂ £ 10х₁ – 60/ х₁ – 10, х₂ - 2х₁ ³ 0.

16.39. 3х₂ - х₁² ³ 0, х₂ £ 4 + 7²/7(х₁ – 4), х₁ £ 4.

16.40. х₂² - 3 х₁ £ 0, х₂ ³ 1 - 2/х₁ – 4.

16.41. х₁² + 16х₂² - 64£ 0, х₁² + х₂² £ 9, х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

16.42. 2х₁² + 3х₂² £ 60, х₂ – х₁ £ 0, х₂ + 3 х₁³ 0.

16.43. 2х₁² + 3х₂² £ 80, 3х₁² + 2х₂² £ 80, х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

16.44. х₁ - х₂ £ 0, 4х₁ - 3 х₂+ 1³ 0, 2х₁ - х₂- 1£ 0.

16.45. х₂£ 5 + 3/ х₁ – 5, 2х₂ - х₁³ 0, х₂ - 2х₁£ 0.

16.46. х₂£ 5 + 3/ х₁ – 5, х₁² + х₂² £ 20.

16.47. х₁² - 5х₁ + х₂² £ 0, х₂ + 2х₁- 10 ³ 0, х₁£ 3.

16.48. х₁² - 10х₁ + х₂² £ 0, х₂ - 3х₁ £ 0, 3х₁+ х₂- 30 £ 0.

16.49. х₁² + х₂² £ 100, х₁- 2х₂+ 10 ³ 0, 3х₁- х₂- 18 £ 0.

16.50. 4х₁² + 9х₂² £ 36, х₁² + х₂² £ 12