Пояснювальна записка. завдання для контрольних робіт

ПУТИВЛЬСКИЙ КОЛЕДЖ

СУМСКОГО НАУ

ПІДГОТОВЧІ КУРСИ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Та

завдання для контрольних робіт

ПРЕДМЕТ:

Математика

Спеціальності:
	Бухгалтерський облік Комерційна діяльність Зберігання, консервування та переробка плодів і овочів

Путивль – 2014

Пояснювальна записка

Контрольні роботи з математики для слухачів підготовчих курсів складені у відповідності з програмою шкільного курсу математики та програмою вступних екзаменів з математики до вищих навчальних закладів І-ІІ рівня акредитації України.

Задачі, включені до контрольних робіт, охоплюють 6 розділів шкільного курсу математики (відповідно пропонується 6 контрольних робіт

Для успішного виконання всіх контрольних завдань цілком достатньо свідомого засвоєння програми шкільного курсу математики.

При оформленні контрольних робіт необхідно дотримуватись таких вимог:

1. Необхідно переписати (в зошит) повністю умову кожного прикладу або задачі контрольного завдання і відразу ж записати його розв’язання.

2. Умови і розв’язання прикладів і задач треба нумерувати і записувати в зошиті в такій же послідовності, як вони записані в контрольному завданні.

3. При розв’язанні текстових задач необхідні короткі, але змістовні і зрозумілі пояснення. Необхідно вказувати правила, формули і теореми, що використовуються при розв’язанні задачі.

4. Якщо вимагає умова задачі, необхідно виконати схематичний рисунок. Рисунки і графіки повинні бути виконані акуратно і чітко (чорнилом або олівцем), позначення при розв’язанні задач повинні відповідати позначенням на рисунках і графіках.

5. Всі обчислення і проміжні дії повинні бути записані повністю в розв’язанні задачі. Не можна обмежуватись тільки записом кінцевого результату (відповіді).

6. Математичні формули в поясненнях не треба переказувати словами.

7. Відповіді повинні бути записані окремо, в кінці рішення задачі.

8. Контрольна робота повинна бути виконана акуратно. Сторінки зошита повинні бути перенумеровані і на кожній з них залишені поля шириною 2-3 см для зауважень.

9. Контрольна робота підписується на палітурці зошита за таким взірцем:

Контрольна робота № ___

з математики

слухача підготовчих курсів

Путивльського коледжу СНАУ

(прізвище, ім’я по батькові)

спеціальність (вказати)

Тема № 1: Дійсні числа.

1. Натуральні числа, дії над ними. Десяткова система числення. Прості і складені числа. Найбільший спільний дільник (НСД) та найменше спільне кратне (НСК) двох чисел. Алгоритм Евкліда.

Поняття „число” є одним з основних у математиці. Воно не означається. Для рахунку застосовують числа 1, 2, 3, 4,..., які називають натуральними. Будь-яке натуральне число в десятковій системі числення можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Якщо число має k цифр (k≥1), то це число називають k- значним. Будь-яке натуральне число можна представити у десятковій системі числення у вигляді , - позиційний запис числа.

Якщо число можна представити у вигляді добутку двох натуральних чисел і , тобто , то кажуть, що число ділиться націло на і на , а числа і називають дільниками числа .

Натуральне число , більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: 1 і . Простими є числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...

Якщо натуральне число має більше ніж два дільники, воно називається складеним. Складеними є числа 4, 6, 8, 9,... Число 1 не є ні простим ні складеним.

Серед натуральних чисел є безліч простих. Кожне складене число можна подати у вигляді добутку простих чисел. Вираз називають канонічним розкладом натурального числа на прості множники. Тут - прості числа - натуральні числа. Для того, щоб розкласти натуральне число на прості множники, його послідовно ділять на прості числа 2, 3, 5, 7,.... Щоб дізнатися, чи ділиться натуральне число на натуральне число , не обов’язково виконувати дію ділення. У ряді випадків на це питання можна відповісти за допомогою ознак подільності.

Ознака подільності суми: якщо кожен з доданків ділиться на натуральне число , то й сума ділиться на .

Ознака подільності добутку: якщо хоч один із співмножників ділиться на натуральне число , то й добуток ділиться на .

Ознака подільності на 2: натуральне число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2.

Ознака подільності на 5: натуральне число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0 або 5.

Ознака подільності на 10: натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0.

Ознака подільності на 4: натуральне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли його останні дві цифри утворюють число, яке ділиться на 4.

Ознаки подільності на 3 і 9: натуральне число ділиться на 3 (на 9) тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3 (на 9).

Ознака подільності на 6: натуральне число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно одночасно ділиться на 2 і на 3.

Із послідовних натуральних чисел одне і тільки одне ділиться на . З цього твердження випливає такий наслідок: якщо - натуральне число, то добуток ділиться на 2, добуток ділиться на 3 (крім того на 6!), а добуток ділиться на 4 (крім того на 6, на 12, і на 24!), і т.д.

Якщо кожне з натуральних чисел і ділиться на натуральне число , то називається спільним дільником чисел і . Якщо числа і мають декілька спільних дільників, то найбільший з них називають найбільшим спільним дільником чисел і , і позначають: НСД(, ). Якщо НСД(, )=1, то числа і називають взаємно простими. Найбільший спільний дільник чисел і є добутком усіх спільних простих дільників цих чисел, взятих з найменшими показниками.

Одним із способів знаходження НСД(, ) є так званий алгоритм Евкліда. Нехай дано два натуральних числа і , причому > . Розділимо на з остачею, тобто представимо ; далі розділимо на з остачею: ; розділимо на з остачею: , і т.д. Продовжуємо цей процес, поки не отримаємо остачу рівну нулю. Остання, відмінна від нуля остача, і є НСД(, ).

Натуральні числа і мають безліч спільних кратних (чисел, які діляться націло і на і на одночасно). Найменше з усіх їх спільних кратних позначають НСК[ , ]. Щоб знайти найменше спільне кратне чисел і , треба розкласти ці числа на прості множники і знайти добуток усіх їх простих дільників, взявши кожен з них із найбільшим показником.

2. Раціональні числа і дії над ними. Нескінченні десяткові періодичні дроби. Відношення, пропорція, процент (відсоток), складні відсотки.

Звичайним дробом називається число виду , де - ціле і - натуральне число. Якщо < , дріб називають правильним (наприклад, , ). Якщо ≥ , дріб називають неправильним (наприклад, , ).

Основна властивість звичайного дробу: якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити (або поділити) на одне і те ж саме число відмінне від нуля, то одержимо дріб, який дорівнює даному: .

Правило додавання дробів:

a) з однаковими знаменниками ; b) з різними знаменниками .

Правило множення дробів: Правило ділення дробів: .

Якщо знаменник звичайного дробу дорівнює 10, 100, 1000,..., його записують в іншій формі і називають десятковим дробом. Для того, щоб подати довільний звичайний дріб у вигляді десяткового, чисельник дробу ділять на його знаменник. Наприклад: Останній десятковий дріб називають десятковим нескінченним періодичним дробом і записують у вигляді . Наприклад: .

Група цифр, що повторюються, називається періодом дробу. Якщо період починається відразу після коми, дріб називається чистим періодичним, наприклад: . Якщо між комою і періодом міститься група цифр, дріб називають змішаним періодичним, наприклад: .

Будь-який звичайний дріб можна подати у вигляді десяткового скінченого або нескінченного періодичного дробу.

Відношенням чисел і називається частка від ділення на : (: ). Якщо : = , то , .

Рівність двох відношень називається пропорцією: . Числа і називають середніми, і - крайніми членами пропорції.

Основна властивість пропорції: . Ця властивість дає змогу знайти четвертий член пропорції, коли відомі три з них: якщо , то .

Дріб називається процентом (відсотком) і позначається . Таким чином і т.д.

Три основні задачі на проценти:

1) знаходження процента від даного числа;

2) знаходження числа за даним процентом;

3) знаходження процентного відношення чисел.

Правило 1: від числа дорівнюють .

Приклад: Знайти 23% від числа 70.

1% від числа 70 дорівнює , отже 23% від числа 70 дорівнюють .

Відповідь: 16,1.

Правило 2: Якщо від числа дорівнюють , то .

Приклад: Знайти число, 6% якого дорівнюють 210.

1% шуканого числа дорівнює , тому шукане число .

Відповідь: 3500.

Правило 3: Процентне відношення чисел і дорівнює .

Приклад: Знайти процентне відношення чисел 36 і 48.

Знаходимо .

Відповідь: 75%.

Задача на складні проценти:

На рахунок банку внесено суму А грн.. Скільки грошей буде на рахунку через t років, якщо банк сплачує p%?

Через 1 рік сума на рахунку дорівнюватиме: , через два роки , через три роки , і т.д. Через t років сума на рахунку становитиме .

Одержана формула має назву формули складних процентів.

3. Розширення поняття про число. Модуль числа.

Об’єднання натуральних чисел (N), їм протилежних та числа нуль є множиною цілих чисел (Z).

Цілі числа та дробові числа (звичайні дроби або скінченні та нескінченні десяткові періодичні дроби) складають множину раціональних чисел (Q). Числа, що не є раціональними, називають і рраціональними. Ірраціональні числа зображуються нескінченними десятковими неперіодичними дробами. Такими є, наприклад, .

Властивості ірраціональних чисел:

1) якщо - ірраціональне число, а - раціональне ( ≠0), то і - числа ірраціональні;

2) між двома раціональними числами існує ірраціональне число.

Раціональні та ірраціональні числа складають множину дійсних чисел (R).

Для кожного дійсного числа визначається його модуль або абсолютна величина (позначається ): .

Наприклад: .

З геометричної точки зору - це відстань на координатній прямій точки з координатою від точки О, а - відстань на координатній прямій між точками з координатами і .

Властивості модуля:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Зауваження:

1) Щоб додати два дійсних числа одного знаку, треба додати їх модулі і взяти їх спільний знак.

Наприклад: 3,6 + 4,7 = 8,3; -5,2 + (- 4,3) = - 9,5.

2) Щоб додати два дійсних числа різних знаків, треба від більшого модуля відняти менший модуль і взяти знак числа з більшим модулем.

Наприклад: 3,2 + (-6,7) = - ( - )= -3,5.

3) Щоб перемножити два дійсних числа одного знаку, треба перемножити їх модулі і взяти знак „плюс”. Щоб перемножити два дійсних числа різних знаків, треба перемножити їх модулі і взяти знак „мінус”.

Наприклад: .

Дії віднімання та ділення означаються як обернені до дій додавання та множення.