Аналитические и статистические модели. Прямые и обратные задачи

Исторически первым сложился аналитический подход к исследованию систем, когда ЭВМ использовалась в качестве вычислителя по аналитическим зависимостям. Анализ характеристик процессов функционирования систем с помощью только аналитических методов исследования наталкивается обычно на значительные трудности, приводящие к необходимости существенного упрощения моделей, на этапе их построения, либо в процессе их работы с моделью, что может привести к получению недостоверных результатов.

Поэтому в настоящее время наряду с построением аналитических моделей большое внимание уделяется задачам оценки характеристик больших систем на основе имитационных моделей, реализованных на современных ЭВМ с высоким быстродействием и большим объемом оперативной памяти.

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет определить (сформулировать) требования к разрабатываемой математической модели.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды т.е. имеет место цепочка: «описательная → математическая схема → математическая (аналитическая или имитационная) модель».

При построении математической модели определяется полнота модели (выбором границы «система S – среда E»), а также определение основных и второстепенных свойств в зависимости от цели моделирования.

При моделировании системы S входные воздействия внешней среды v є V и внутренние параметры h є H являются независимыми переменными (а выходные характеристики – зависимыми переменными y є Y). Моделирование во времени отражает динамические свойства системы.

Статистическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое – отражает поведение объекта во времени.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а). аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б). численным, когда не умея решать уравнения в общем виде стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в). качественным, когда не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени. Методом статистического моделирования называется метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний – численный метод решения аналитической задачи.

Для статистических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X,V,H}, в векторной форме записывается . Эти соотношения могут быть заданы различными способами: аналитически, графически, таблично и т.д.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных { }вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Постановки задач о некоторой системе и ее связи с окружающей средой рассматриваются с точки зрения соотношений причина-следствие. Установление причинно-следственных связей составляет цель прямых задач. Наоборот, если по определенной информации требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи. Постановки обратных задач, в отличие от прямых, не соответствуют физически реализуемым событиям.

6. Однокритериальные и многокритериальные задачи. Методы их решения.

Однокритериальные задачи – задачи, которые состоят в поиске лучшего (оптимального) решения, удовлетворяющего одному критерию. Примером однокритериальной задачи может послужить общая задача линейного программирования.

Многокритериальные модели предназначены для случаев с несколькими целями (имеется несколько целевых функций). Для работы с такими моделями пользуются способом сведения двух критериев к одному или методом последовательных уступок. Примером может служить модель увеличения производства какого-то товара при одновременном уменьшении себестоимости и улучшении качества.

Многокритериальные задачи – задачи, которые состоят в поиске лучшего (оптимального) решения, удовлетворяющего нескольким несводимым друг к другу критериям.

Формальная схема многокритериальной задачей линейного программирования (МЗЛП) от обычной ЗЛП отличается наличием нескольких целевых функций:

(1)

Знак max означает тот факт, желательно увеличение каждой из линейных форм , отражающей некоторую r-ю цель. Требование только максимизации не сужает общности задачи. Так, например, требование минимизации затрат некоторых ресурсов эквивалентно требованию максимизации остатка от изначально выделенных ресурсов. Наличие многих критериев позволяет сделать модель (1) более адекватной изучаемой ситуации, однако выводит ее из класса задач многокритериального программирования и требует разработки многих способов ее анализа. Начальный анализ МЗЛП состоит в удалении из области допустимых решений явно худших, доминируемых решений. Решение х’ доминирует решение х (х’>х), если при х’ хотя бы один критерий имеет больше значение при равенстве остальных. Поэтому решение х может быть исключено из дальнейшего рассмотрения, как худшее, чем х’. Если решение х’ не доминируется ни одним из решений, то его называют Паретто-оптимальным или эффективным решением. Таким образом, эффективное решение – это неулучшаемое решение (недоминируемое) решение, и ясно, что решение должно обладать этим свойством - другие решения нет смысла рассматривать.

Формальное определение π-оптимальности решения х’ записывается как требование об отсутствии такого решения, при котором бы были выполнены условия (2) и хотя бы одно из них – строго. Условия (2) выражают требование невозможности улучшения решения в пределах области допустимых решений ни по одному критерию без ухудшения хотя бы по одному из других.

7. Детерминированные задачи.

Детерминированные задачи (однозначно определенные)

Начало развития исследования операций как науки традицион­но связывают с сороковыми годами двадцатого столетия. Среди первых исследований в данном направлении может быть назва­на работа Л. В. Канторовича «Математические методы органи­зации и планирования производства», вышедшая в 1939 г. В за­рубежной литературе отправной точкой обычно считается вышедшая в 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная реше­нию линейных экстремальных задач.

Следует отметить, что не существует жесткого, устоявше­гося и общепринятого определения предмета исследования опе­раций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что «ис­следование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления органи­зационными системами».

Природа систем, фигурирующих в приведенном определении под именем «организационных», может быть самой различной, а их общие математические модели находят применение не толь­ко при решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социологических исследованиях и других практи­ческих сферах. Кстати, само название дисциплины связано с применением математических методов для управления военны­ми операциями.

Несмотря на многообразие задач организационного управ­ления, при их решении можно выделить некоторую общую по­следовательность этапов, через которые проходит любое опе­рационное исследование. Как правило, это:

1. Постановка задачи.

2. Построение содержательной (вербальной) модели рас­сматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возмож­ных управляющих воздействий, влияющих на достижение сфор­мулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия. \

3. Построение математической модели, т. е. перевод сконст­руированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

4. Решение задач, сформулированных на базе постро­енной математической модели.

5. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная коррек­тировка первоначальной модели.

6. Реализация полученного решения на практике.

Центральное место в данной книге отведено вопросам, отно­сящимся к четвертому пункту приведенной выше схемы. Это делается не потому, что он является самым важным, сложным или интересным, а потому, что остальные пункты существенно зависят от конкретной природы изучаемой системы, в силу чего для действий, которые должны производиться в их рамках, не могут быть сформулированы универсальные и содержательные рекомендации. По этому поводу, например, X. Таха заметил, что исследование операций одновременно является как наукой, так и искусством [27].

Математическое моделирование в исследовании операций является, с одной стороны, очень важным и сложным, а с дру­гой — практически не поддающимся научной формализации процессом. Заметим, что неоднократно предпринимавшиеся по­пытки выделить общие принципы создания математических мо­делей приводили либо к декларированию рекомендаций самого общего характера, трудноприложимых для решения конкрет­ных проблем, либо, наоборот, к появлению рецептов, примени­мых в действительности только к узкому кругу задач. Поэтому более полезным представляется знакомство с техникой мате­матического моделирования на конкретных примерах.

В качестве таких примеров приведем несколько классиче­ских экономико-математических моделей и задач, которые мо­гут быть сформулированы на их основе.

Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей.

Название	Доходность (в %)	Срок выкупа (год)	Надежность (в баллах)
А	5,5
В	6,0
С	8,0
D	7,5
Е	5,5
F	7,0

Предположим, что при принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия:

a. суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ 100 000;

b. доля средств, вложенная в один объект, не может превы­шать четверти от всего объема;

c. более половины всех средств должны быть вложены в дол­госрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к тако­вым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.);

d. доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема.

Приступим к составлению экономико-математической моде­ли для данной ситуации. Целесообразно начать процесс с опре­деления структуры управляемых переменных. В рассматривае­мом примере в качестве таких переменных выступают объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как х_А, х_В, х_С, х_D, х_E, х_F. Тогда суммарная прибыль от раз­мещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде

(1)

На следующем этапе моделирования мы должны формально описать перечисленные выше ограничения a-d на структуру портфеля.

a) Ограничение на суммарный объем активов:

x_A + x_B + x_С + x_D + x_E + x_F £100 000. (2)

b) Ограничение на размер доли каждого актива:

х_А £25 000, х_В £25 000, х_С £ 25 000,

x_d £ 25 000, х_е £ 25 000, x_f £25 000. (3)

c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать по­ловину средств в долгосрочные активы:

х_В + х_С ³ 50 000 (4)

d) Ограничение на долю ненадежных активов:

x_C + x_D £ 30 000. (5)

Наконец, система ограничений в соответствии с экономиче­ским смыслом задачи должна быть дополнена условиями неот­рицательности для искомых переменных:

х_А ³ 0, х_B ³ 0, х_C ³ 0, x_D ³ 0, х_Е ³ 0, x_F ³ 0. (6)

Выражения (1)-(6) образуют математическую модель поведения инвестора. В рамках этой модели может быть по­ставлена задача поиска таких значений переменных х_а, х_B, х_C, x_d, x_e, х_F, при которых достигается наибольшее значение при­были (т. е. функции (1)) и одновременно выполняются ограни­чения на структуру портфеля активов (2)-(6).

Перейдем теперь к рассмотрению более общих моделей и задач.

8. Общий вид задач линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (в дальней­шем ЗЛП) может быть сформулирована как задача нахождения наибольшего значения линейной функции

(1.1)

на некотором множестве D Ì Rⁿ,где x Î D удовлетворяют сис­теме ограничений

(1.2)

и, возможно, ограничениям

(1.3)

He умаляя общности, можно считать, что в системе (1.2) пер­вые т ограничений являются неравенствами, а последующие — l -уравнениями. Очевидно, этого всегда можно добиться за счет простого переупорядочения ограничений. Относительно направ­ления знака неравенства будем предполагать, что левая часть меньше или равна правой. Добиться этого можно, умножив на (-1) обе части тех неравенств, которые имеют противопо­ложный знак. Ограничения (1.3), вообще говоря, могут быть рассмотрены как частный случай ограничений в форме нера­венств, но в силу особой структуры их обычно выделяют от­дельно и называют условиями неотрицательности (или три­виальными ограничениями).

Дополнительно следует заметить, что выбор типа искомого экстремума (максимума или минимума) также носит относитель­ный характер. Так, задача поиска максимума функции

(1.4)

эквивалентна задаче поиска минимума функции

(1.5)

Часто условия задачи (1.1) - (1.3), содержащей ограничения только типа неравенств, бывает удобно записывать в сокращен­ной матричной форме

(1.6)

где с и x — векторы из пространства Rⁿ, b — вектор из простран­ства R^m, a А — матрица размерности m ´ п.

Задачу линейного программирования, записанную в форме (1.1) - (1.3), называют общей задачей линейного програм­мирования (ОЗЛП).

9. Основная задача линейного программирования, ее формы.