![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Постановка задачи. Пусть на отрезке задана функция
. С помощью точек
…,
разобьем отрезок
на n отрезков
(
), причем
. На каждом их этих отрезков выберем произвольную
и найдем произведение
значения функции в этой точке
на длину отрезка
:
(19)
Составим сумму всех таких произведений:
(20)
Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции
на отрезке [ a,b ] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения; при этом длина наибольшего из отрезков стремится к нулю:
(21)
Теорема существования определенного интеграла. Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a,b ], ни от выбора точек
.
Геометрический смысл введенных понятий для случая
>0 проиллюстрирован на рис. 2.
Рис. 2.
Абсциссами точек являются значения
, ординатами – значения
. Выражения (19) при
описывают площади элементарных прямоугольников (штриховые линии), интегральная сумма (20) - площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех
верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию
. Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу (21).
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью неопределенного интеграла (вернее, первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования:
. (22)
Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:
1) вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;
2) значения функции заданы только на фиксированном конечном множестве точек
, т.е. функция задана в виде таблицы.
В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами.
Методы прямоугольников и трапеций
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной сумой (20). В качестве точек могут выбираться левые (
) или правые (
) границы отрезков. Обозначая
,
, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:
(23)
(24)
Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках отрезков (в полуцелых узлах):
, (25)
,
.
В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляется в виде ломаной, соединяющий точки
. В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей прямолинейных трапеций (рис. 3).
Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
.
Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:
. (26)
Рис. 3
Важным частным случаем этих формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом (
. Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:
(27)
. (28)
Метод Симпсона
Разобьем отрезок интегрирования [ a,b ] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке
…,
, …,
подынтегральную функцию
заменим интерполяционным многочленом второй степени:
.
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным
. В качестве
можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки
,
,
:
.
Элементарная площадь (рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла.
Рис. 4.
Учитывая равенства , получаем
Проведя такие вычисления для каждого отрезка , просуммируем полученные выражения:
.
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(29)
Полученное соотношение (29) называется формулой Симпсона.
Пример. Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Решение. Используем для вычисления интеграла формулы прямоугольников и трапеций. Для этого разобьем отрезок интегрирования [0,1] на десять равных частей: n= 10, h =0.1. Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения
, а также в полуцелых точках
,
. Результаты вычислений занесем в таблицу 4.
Таблица 4
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0.0 | 1.000000 | - | - |
0.1 | 0.990099 | 0.05 | 0.997506 |
0.2 | 0.961538 | 0.15 | 0.977995 |
0.3 | 0.917431 | 0.25 | 0.941176 |
0.4 | 0.862069 | 0.35 | 0.890868 |
0.5 | 0.800000 | 0.45 | 0.831601 |
0.6 | 0.735294 | 0.55 | 0.767754 |
0.7 | 0.671141 | 0.65 | 0.702988 |
0.8 | 0.609756 | 0.75 | 0.640000 |
0.9 | 0.552486 | 0.85 | 0.580552 |
1.0 | 0.500000 | 0.95 | 0.525624 |
По формуле прямоугольников (27) получим
.
Вычислить значение интеграла по методу Симпсона. Значения функции при n= 10, h =0.1 приведены в таблице 1. Применяя формулу (29), находим:
.
Задание 5
Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Варианты
0. 1.
2.
3. 4.
5.
6. 7.
8.
9.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 272 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!