Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть на отрезке задана функция . С помощью точек …, разобьем отрезок на n отрезков (), причем . На каждом их этих отрезков выберем произвольную и найдем произведение значения функции в этой точке на длину отрезка :

(19)

Составим сумму всех таких произведений:

(20)

Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезке [ a,b ] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения; при этом длина наибольшего из отрезков стремится к нулю:

(21)

Теорема существования определенного интеграла. Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a,b ], ни от выбора точек .

Геометрический смысл введенных понятий для случая >0 проиллюстрирован на рис. 2.

Рис. 2.

Абсциссами точек являются значения , ординатами – значения . Выражения (19) при описывают площади элементарных прямоугольников (штриховые линии), интегральная сумма (20) - площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию . Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу (21).

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью неопределенного интеграла (вернее, первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования:

. (22)

Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1) вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2) значения функции заданы только на фиксированном конечном множестве точек , т.е. функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используют методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами.

Методы прямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной сумой (20). В качестве точек могут выбираться левые () или правые () границы отрезков. Обозначая , , получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:

(23)

(24)

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках отрезков (в полуцелых узлах):

, (25)

, .

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляется в виде ломаной, соединяющий точки . В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей прямолинейных трапеций (рис. 3).

Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

.

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

. (26)

Рис. 3

Важным частным случаем этих формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом (. Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

(27)

. (28)

Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [ a,b ] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке …, , …, подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени:

.

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки , , :

.

Элементарная площадь (рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла.

Рис. 4.

Учитывая равенства , получаем

Проведя такие вычисления для каждого отрезка , просуммируем полученные выражения:

.

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(29)

Полученное соотношение (29) называется формулой Симпсона.

Пример. Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Решение. Используем для вычисления интеграла формулы прямоугольников и трапеций. Для этого разобьем отрезок интегрирования [0,1] на десять равных частей: n= 10, h =0.1. Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения , а также в полуцелых точках , . Результаты вычислений занесем в таблицу 4.

Таблица 4

0.0	1.000000	-	-
0.1	0.990099	0.05	0.997506
0.2	0.961538	0.15	0.977995
0.3	0.917431	0.25	0.941176
0.4	0.862069	0.35	0.890868
0.5	0.800000	0.45	0.831601
0.6	0.735294	0.55	0.767754
0.7	0.671141	0.65	0.702988
0.8	0.609756	0.75	0.640000
0.9	0.552486	0.85	0.580552
1.0	0.500000	0.95	0.525624

По формуле прямоугольников (27) получим .

Вычислить значение интеграла по методу Симпсона. Значения функции при n= 10, h =0.1 приведены в таблице 1. Применяя формулу (29), находим:

.

Задание 5

Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Варианты

0. 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.

9.