Составление математических моделей оптимизационных инженерно-экономических задач

Под математической моделью будем понимать систему (совокупность уравнений, неравенств, функциональных зависимостей), описывающих реальные инженерно-экономические задачи.

Алгоритм составления математических моделей оптимизационных инженерно-экономических задач опишем на следующих примерах.

Пример 1. Задача о получении максимальной прибыли.

Предприятие изготовляет продукцию 2 наименований П1 и П2, используя при этом 4 ресурса - Р1, Р2, Р3, Р4.

Нормы затрат каждого ресурса и прибыль от реализации выпускаемой продукции приведены в таблице №1.

Таблица №1

Ресурс	Нормы затрат ресурсов на производство ед. продукции вида:	Запас ресурсов
П1	П2
Р1
Р2
Р3
Р4
Прибыль от реализации

Учитывая запас ресурсов, нормы их затрат и прибыль от реализации составить такой план выпуска продукции П1 и П2, который обеспечил бы наибольшую суммарную прибыль при реализации.

Алгоритм

1 шаг. Определение переменных величин.

Вводим переменные величины количество и смысл (содержание) которых зависит от содержания задачи.

В нашей задаче будет две переменные величины Х₁ и Х₂.

Х₁- количество единиц продукции вида П1.

Х₂- количество единиц продукции вида П2.

2 шаг. Составление системы ограничений.

Исходя из введенных на первом шаге переменных величин и анализируя

условие задачи, получаем систему ограничений неравенств (уравнений).

Х₁³ 0,

Х₂³ 0 т. к. Х₁ и Х₂ - количество единиц продукции.

10*Х₁ - затраты ресурса Р1 на производство Х₁ единиц продукции вида П1

12*Х₂ - затраты ресурса Р1 на производство Х₂ единиц продукции вида П1, тогда

10*Х₁ + 12*Х₂ -суммарные затраты ресурса Р1 на производство всей продукции Х₁ вида П1 и Х₂ вида П2. По условию эти суммарные затраты не должны превышать запаса ресурса Р1. Тогда неравенство примет вид:

10* Х₁ + 12* Х₂ £ 60

Аналогично составляем неравенства по остальным видам ресурсов Р2, Р3, Р4.

Окончательно система ограничений примет вид:

Х₁³ 0,

Х₂³ 0

10* Х₁ + 12*Х₂ £ 60

8*Х₁ + 10* Х₂ £ 40 (1)

9*Х₁ £ 81

8*Х₂ £ 56

3 шаг. Составление целевой функции.

Под целевой функцией понимается математическое выражение (формула) для расчета величины которую нужно оптимизировать в инженерно-экономической задаче.

4* Х₁ - это прибыль от реализации Х₁ единиц продукции вида П1

5* Х₂ - это прибыль от реализации Х₂ единиц продукции вида П2

Тогда:

L = 4* Х₁ + 5* Х₂ ® max (2)

- суммарная прибыль от реализации единиц продукции Х₁ и Х₂ вида П1 и П2, которая по условию должна быть максимальной.

Полученная математическая модель, т.е. система ограничений (1) и целевая функции (2) и представляет собой задачу линейного программирования (планирования З.Л.П.)

Пример 2. Задача о минимальных затратах.

Экономично выгодное откармливание животных предполагает, что в их дневном рационе будет белка - не меньше 2 кг, кальция - не меньше 300 г и фосфора - не меньше 150 г. Рацион состоит из трех видов кормов - А, В, С. В таблице приведены данные о концентрации необходимых веществ в кормах, а также цена этих кормов.

Вид корма	Концентрация веществ в кормах г/кг	Цена кормов, коп./кг
белок	кальций	фосфор
А		1,4
В		1,8
С		1,2

Какое количество каждого вида корма нужно закупить, чтобы общие затраты на откармливание были минимальными?

Алгоритм

1 шаг. Определение переменных величин.

Вводим переменные величины количество и смысл (содержание) которых, зависит от содержания задачи.

В нашей задаче введем три переменные величины Х₁ , Х₂ и Х₃.

Х₁- количество закупки кормов (кг) вида А.

Х₂- количество закупки кормов (кг) вида В.

Х₃- количество закупки кормов (кг) вида С.

2 шаг. Составление системы ограничений.

Исходя из введенных на первом шаге переменных величин, анализируя условие задачи, получаем систему ограничений неравенств (уравнений).

Х₁³ 0,

Х₂³ 0

Х₃³ 0 т. к. Х₁ , Х₂ и Х₃ количество кормов вида А,В,С.

Вычисляем концентрацию белка в кормах, сотственно:

80*Х₁ – концентрация белка в корме Х₁ вида А

70*Х₂ – концентрация белка в корме Х₂ вида В

90*Х₃ – концентрация белка в корме Х₃ вида С

Тогда:

80*Х₁ + 70*Х₂ + 90*Х₃ -суммарная концентрация белка в кормах Х_1, Х_2, Х₃ вида А, В, С и она должна быть не меньше заданной 2 кг (2000 г). Тогда неравенство примет вид:

80*Х₁ + 70*Х₂ + 90*Х₃ ≥2000

Аналогично составляем неравенства по остальным видам кормов В и С.

Система ограничений примет вид:

Х₁³ 0

Х₂³ 0

Х₃³ 0

80 *Х₁ + 70*Х₂ + 90*Х₃ ≥2000

1,4*Х₁ + 1,8*Х₂ + 1,2*Х₃ ≥300 (1)

3 *Х₁ + 4*Х₂ + 6*Х₃ ≥150

3 шаг. Составление целевой функции.

Под целевой функцией понимается математическое выражение (формула) для расчета величины, которую нужно оптимизировать в инженерно-экономической задаче.

5* Х₁ - стоимость кормов Х₁ вида А

7* Х₂ - стоимость кормов Х₂ вида В

4* Х₃ - стоимость кормов Х ₃ вида С.

тогда

L = 5* Х₁ + 7* Х₂ + 4* Х₃ ® min (2)

- суммарная стоимость кормов Х_1, Х_2, и Х₃ вида А, В, С и она должна быть минимальной.

Полученная математическая модель, т.е. система ограничений (1) и целевая функция (2) представляет собой задачу линейного программирования (планирования) З.Л.П.

Пример 3. Транспортная задача.

Транспортная задача есть одной из самых распространенных задач линейного программирования. В настоящее время она широко используется в практике планирования различных экономических процессов. Особенно большое значение она имеет при определении вопросов рациональных поставок важных видов промышленной и сельскохозяйственной продукций, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Имеется m предприятий А₁, А₂,...,А_m, производящих один и тот же продукт в количествах, равных соответственно а₁, а₂,...,а_m и n потребителей этого продукта, находящихся в пунктах В₁, В₂,...,В_n, причем потребности их известны и равны b₁,b₂,...,b_n. Предполагается, что суммарный объем потребления равен суммарному объему выпуска всех предприятий. Перевозка продукта от i-го предприятия к j-му потребителю ведет к затратам и составляет С_ij. Нужно определить наилучший план перевозок (min затрат).

Транспортная задача представляет собой задачу ЛП с (m*n) переменными и (m+n) ограничениями-равенствами.

Матрицу переменных

Х=(х_ij), где i=1,..., m, j=1,..., n

называют планом перевозок, а переменные x_ij - перевозками. План, при котором целевая функция минимальна, называют оптимальным планом.

Матрица коэффициентов целевой функции С=(с_ij), где i=1,...,m, j=1,...,n называется матрицей транспортных издержек.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось балансовое соотношение, т.е., чтобы объем производства был равен объему потребления.

Существует ряд практических задач, в которых условие баланса не выполняется. Такие задачи называются открытыми. В этом случае вводим фиктивного поставщика или потребителя со значением, которое выровняет баланс и сделает задачу закрытой.

Дано: Объемы производства бензина: НПЗ-№1 (нефтеперерабатывающий завод), НПЗ-№2, НПЗ-№3 (поставщики).

Объемы потребления бензина: АЗС1 (автозаправочная станция), АЗС2, АЗС3, АЗС4 (потребители).

Стоимость транспортировки 1 тонны бензина от НПЗ к АЗС заданы в таблице.:

Поставщики ()	Удельные затраты на транспортировки	Объемы поставщиков (тонны) аi
АЗС1	АЗС2	АЗС3	АЗС4
НПЗ №1	3	4	5	7
НПЗ №2	4	5	6	6
НПЗ №3	8	4	3	3
Объемы потребления (тонны) bj

Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы общая сумма транспортных расходов была минимальной:

Алгоритм

1 шаг. Проверка разрешимости задачи. Определение переменных величин:

- количество перевезенного бензина (т.) от i-ого поставщика j-му потребителю. (i=1,…,3; j=1,…,4).

2 шаг. Составление системы ограничений.

Исходя из введенных на первом шаге переменных величин и анализируя условие задачи, получаем систему ограничений (уравнений).

x_ij³ 0,

-суммарные поставки i-ых поставщиков и суммарные потребности j-ых потребителей должны быть равны заданным объемам (т.) соответственно.

3 шаг. Составление целевой функции.

Произведение с_ij*х_ij - это транспортные затраты на поставку х_ij объемов бензина от i –ого поставщика к j-ому потребителю. Суммируя затраты по всем поставщикам и потребителям, получаем целевую функцию в виде:

которая по условию должна быть минимальной.

Составить математическую модель для данной задачи.

(Номер задачи соответствует номеру варианта)

01. Плановые фонды продуктов и нормативы их затрат на приготовление десяти блюд каждого из четырех видов, а также получаемая от их продажи прибыль представлены в таблице.

Продукты	Нормозатраты продуктов на приготовление десяти блюд вида	Плановый фонд продуктов
I	II	III	IV
Мясо, кг	0.6	0.9	-	-
Рыба, кг	0.3	-	0.4	-
Молоко, л	0.5	-	-
Макаронные изд. кг	0.2	0.3	0.2	0.4
Овощи, кг	0.4	0.5	0.3	-
Прибыль от продажи десяти блюд, грн.

Какое количество блюд 4-х видов нужно приготовить для получения максимальной прибыли с учетом того, что приготовлено должно быть не менее 3-х десятков блюд каждого вида?

02. Составить наиболее дешевую смесь, состоящую из продуктов А1, А2, А3 и содержащую не менее заданного количества веществ В1, В2, В3, В4. Содержание веществ в продуктах, требуемое количество веществ и цена единицы продукта заданы таблицей:

Вещество	Продукты	Требуемое кол-во веществ
А1	А2	А3
В1
В2
В3
В4
Цена (грн.)

03. На 3-х типах технологического оборудования предприятие может изготовлять 5 видов изделий, для каждого из которых задано минимально необходимое количество их выпуска. Затраты времени на единицу продукции, фонд времени по группам оборудования, а также прибыль от выпуска одного изделия даны в таблице.

Тип оборудования	Нормозатраты времени (час.) на одно изделие	Фонд времени
I	II	III	IV	V
Первый
Второй
Третий
Минимальный план выпуска, шт.
Прибыль от единицы продукции (грн.)

Найти план выпуска продукции, который обеспечивает максимум прибыли.

04. Необходимо оптимальным образом распределить общую посевную площадь 300 га под разные культуры, чтобы получить максимум стоимости урожая, если известен общий объем производственных ресурсов: нормозатраты их на один гектар, а также урожайность каждой культуры и ее цена (см. таблицу).

Вид ресурса	Нормозатраты ресурсов на 1 га	Ресурсные объемы, час
пшеница	жито	картофель
Механизированный труд, час/га	1,5	1,4
Ручной труд, час/га	2,5	2,2
Цена 1ц продукции, грн.
Урожайность, ц/га

05. Для производства столов, шкафов и тумбочек мебельная фабрика использует ресурсы древесины двух видов. Нормозатраты этих ресурсов, их общее количество, а также доход от реализации одного изделия приведены в таблице.

Ресурсы древесины по видам	Нормозатраты ресурсов на одно изделие, м3	Общее количество ресурсов, м3
стол	шкаф	тумбочка
I	0,3	0,2	0,1
II	0,1	0,4	0,2
Доход от реализации одного изделия, грн

Найти план выпуска продукции, который обеспечивает максимум дохода.

06. Экономично выгодное откармливание животных предполагает, что в их дневном рационе будет белка - не меньше 4 кг, кальция - не меньше 500 г и фосфора - не меньше 150 г. Рацион состоит из трех видов кормов - А, В, С.

В таблице приведены данные о концентрации необходимых веществ в кормах, а также цена этих кормов.

Вид корма	Концентрация веществ в кормах г/кг	Цена кормов, коп./кг
белок	кальций	фосфор
А		2,4
В		2,8
С		2,2

Какое количество каждого вида корма нужно расходовать, чтобы общие затраты на откармливание были минимальными?

07. Торговое предприятие, чтобы организовать продажу трех видов продукции (I, II и III), имеет ресурсы труда и площади. В таблице приведен общий объем ресурсов на квартал, а также нормативы их использования и торговая прибыль на тысячу гривен товарооборота.

Ресурсы	Нормозатраты на 1 тыс. грн. товарооборота по продуктам	Наличный объем ресурсов
I	II	III
Труд, чел.-час
Площадь м2	0,3	0,7	0,5
Торговая прибыль, грн.

Найти оптимальный квартальный план товарооборота, обеспечивающий максимум прибыли.

08. Торговое предприятие, чтобы организовать продажу трех видов продукции (I, II и III), имеет ресурсы труда и площади. В таблице приведен общий объем ресурсов на квартал, а также нормативы их использования и затраты оборота на тысячу гривен товарооборота.

Ресурсы	Нормозатраты на 1 тис. грн. товарооборота по продуктам	Наличный объем ресурсов
I	II	III
Труд, чел.-час
Площадь м2	0,3	0,7	0,5
Торговая прибыль, грн
Затраты оборота, грн.

Найти оптимальный квартальный план товарооборота, обеспечивающий минимум затрат оборота. При этом прибыль должна быть не менее 20000 грн.

09. В городе можно построить дома трех типов, каждый из которых характеризуется определенным количеством одно-, двух-, трех- и четырехкомнатных квартир, а также разной себестоимостью. Соответствующая информация приведена в таблице, где указано также количество квартир каждого вида.

Вид квартиры	Количество квартир в одном доме типа	Минимально необходимое количество квартир
I	II	III
Однокомнатная
Двухкомнатная
Трехкомнатная			-
Четырехкомнатная
Себестоимость одного дома тис.грн.

Составить план строительства жилых домов, который обеспечивает минимальную себестоимость всей застройки.

10. Процесс изготовления кожаных брюк, курток и пальто предполагает прохождение изделий через дубильный, раскройный и пошивочный цеха. Фонд времени работы каждого из них составляет соответственно 1340, 1280 и 1520 часов. Нормы времени обработки изделий в каждом из цехов, а также прибыль, получаемая предприятием от выпуска единицы продукции, представлены в таблице.

Цех	Нормозатраты времени на единицу продукции, час.
брюки	куртка	пальто
Дубильный	0,6	0,7	0,8
Раскройный	0,7	0,5	0,9
Пошивочный	0,8	0,7	0,9
Прибыль от единицы продукции, грн.

Найти план выпуска изделий, который обеспечивает предприятию максимальную прибыль.

11. Для производства столов, трюмо и тумбочек мебельный комбинат использует древесину трех видов. Запасы древесины, нормы ее расходования, плановый ассортимент продукции и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице.

Вид древесины	Нормозатраты ресурсов на одно изделие, м3	Запас древесины, м3
Стол	Трюмо	Тумбочка
Первый	0,2	0,4	0,3
Второй	0,3	0,6	0,5
Третий	0,7	0,2	0,4
Плановый ассортимент, шт
Прибыль от единицы продукции, грн.

Определить оптимальный план выпуска продукции, максимизирующий прибыль комбината и предусматривающий возможность перевыполнения плановых показателей по количеству выпускаемой продукции.

12. Для подвоза песка и щебня бетонный завод может использовать автосамосвалы трех марок А1, А2 и А3. Характеристики автосамосвалов даны в таблице. Заводу в сутки требуется не менее 6000 м³ песка и не менее 4000 м³ щебня. Составить оптимальный план использования самосвалов (минимальная стоимость машино-смены).

Материалы	Сменная производительность типов самосвалов, м3
А1	А2	А3
Песок
Щебень
Стоимость машино-смены, грн.

13. В студенческой столовой для приготовления бутербродов трех видов используются четыре вида ресурсов, общий объем которых и нормы затрат представлены в таблице. Известна также прибыль, получаемая столовой от реализации одной партии бутербродов каждого вида.

Вид ресурса	Нормы затрат ресурсов на одну партию бутербродов вида, кг	Наличный объем ресурсов, кг
I	II	III
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Прибыль от реализации одной партии бутербродов

Спланировать выпуск партий бутербродов в таких количествах, чтобы общая прибыль столовой бала максимальной. При этом следует учитывать, что бутербродов первого вида необходимо приготовить не менее 4-х партий.

14. Фирма, используя три типа ресурсов, реализует продукцию четырех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее реализации приведены в таблице.

Тип ресурса	Нормозатраты на реализацию одной партии изделий вида, условн. ед.	Общий объем ресурсов, условн. ед.
I	II	III	IV
I
II
III
Прибыль от реализации одной партии изделий, грн.

Найти план продажи партий изделий, который обеспечивает фирме максимальную прибыль.

15. Завод выпускает три вида продукции, используя при этом четыре вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, их запасы, а также доход от выпуска единицы продукции приведены в таблице.

Вид сырья	Нормозатраты на единицу продукции вида, кг	Запас сырья, кг
I	II	III
Р1	0,3	0,4	0,5
Р2	0,6	0,4	0,5
Р3	0,8		0,4
Р4		0,1	0,7
Доход от единицы продукции

Найти такой план выпуска продукции, согласно которому будет достигнут максимальный доход.

16. Фабрика производит три вида изделий А, В, С, расходуя при этом сталь, вольфрам, медь, электроэнергию. Найти оптимальный план выпуска продукции (максимум дохода), исходя из данных следующей таблицы:

Ресурсы	Виды изделий	Запасы ресурсов
А	В	С
Сталь
Вольфрам
Медь
Эл. энергия
Станки
Доход

17. Требуется организовать производство трех строительных материалов А, В и С. Потребляемые при производстве ресурсы для каждого из видов, запасы ресурсов, а также отпускная цена материалов приведены в таблице:

Вид ресурса	Затраты ресурса на 1 м3 материала	Запас ресурса, м3
А	В	С
Глина	0.5	0.4	0.3	2.0
Цемент	0.2	0.2	0.1	1.2
Известь	0.6	0.6	0.5	3.0
Гравий	0.4		0.3	1.2
Отпускная цена, грн/м3

Необходимо определить оптимальный план производства материалов, который позволяет получить максимальную прибыль от реализации продукции.

18. Составить оптимальный план (минимум капитальных затрат) застройки микрорайона города жилыми домами трех различных типов. Наличие квартир в каждом из типичных домов отображает таблица:

Плановое количество жильцов в квартире	Количество квартир по типам домов
	Первый	Второй	Третий

Известна стоимость одного дома: первого типа - 804 тыс. грн., второго - 832 тыс. грн., третьего типа - 602 тыс. грн. Демографический состав населения будущего микрорайона обусловливает необходимость того, чтобы квартир было не меньше: на 2 жильца - 750 квартир, на 3 жильца - 1700 квартир, на 4 жильца - 450 квартир.

19. Автобаза, обслуживающая четыре линии Л1, Л2, Л3 и Л4, может заказать автомашины трех типов А1, А2 и А3. Эксплуатационные расходы, объем перевозок на одну машину каждого типа и общий план перевозок для каждой линии заданы в таблице. Допускается возможность перевыполнения плана перевозок на каждой линии. Составить заказ на автомашины, обеспечивающий наименьшие эксплуатационные расходы.

Тип линии	Объем перевозок на 1 машину	План перевозок
А1	А2	А3
Л1
Л2
Л3
Л4
Экспл. расходы

20. На производство трех сортов кирпича расходуется глина трех видов. Расход глины каждого вида на 1 ед. кирпича каждого типа, запасы глины, а также доход от реализации 1 ед. кирпича представлены в таблице. Составить план производства кирпича, максимизирующий доход.

Глина	Расход на 1 ед. кирпича	Запасы глины
I сорт	II сорт	III сорт
1 вид
2 вид
3 вид
Доход от 1 ед.

21. Завод выпускает три вида продукции, используя при этом четыре вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, их запасы, а также доход от выпуска единицы продукции приведены в таблице.

Вид сырья	Нормозатраты на единицу продукции вида, кг	Запас сырья, кг
I	II	III
Р1	0,5	0,3	0,1
Р2	0,7	0,2	0,9
Р3	0,5	0,1	0,8
Р4	0,5	0,8	0,5
Доход от единицы продукции

Найти такой план выпуска продукции, согласно которому будет достигнут максимальный доход.

22. Для подвоза песка и щебня бетонный завод может использовать автосамосвалы трех марок А1, А2 и А3. Характеристики автосамосвалов даны в таблице. Заводу в сутки требуется не менее 6000 м³ песка и не менее 4000 м³ щебня. Составить оптимальный план использования самосвалов (минимальная стоимость машино-смены).

Материалы	Сменная производительность типов самосвалов, м3
А1	А2	А3
Песок
Щебень
Стоимость машино-смены, грн.

23. Составить наиболее дешевую смесь, состоящую из продуктов А1, А2, А3 и содержащую не менее заданного количества веществ В1, В2, В3, В4. Содержание веществ в продуктах, требуемое количество веществ и цена единицы продукта заданы таблицей:

Вещество	Продукты	Требуемое кол-во веществ
А1	А2	А3
В1
В2
В3
В4
Цена

24. Плановые фонды продуктов и нормативы их затрат на приготовление десяти блюд каждого из четырех видов, а также получаемая от их продажи прибыль представлены в таблице.

Продукты	Нормозатраты продуктов на приготовление десяти блюд вида	Плановый фонд продуктов
I	II	III	IV
Мясо, кг	0.8	0.9	-	-
Рыба, кг	0.6	-	0.4	-
Молоко, л	0.5	-	-
Макаронные изд. кг	0.3	0.5	0.3	0.7
Овощи, кг	0.2	0.9	0.4	-
Прибыль от продажи десяти блюд, грн.

Какое количество блюд 4-х видов нужно приготовить для получения максимальной прибыли с учетом того, что приготовлено должно быть не менее 3-х десятков блюд каждого вида?

25. Составить наиболее дешевую смесь, состоящую из продуктов А1, А2, А3 и содержащую не менее заданного количества веществ В1, В2, В3, В4. Содержание веществ в продуктах, требуемое количество веществ и цена единицы продукта заданы таблицей:

Вещество	Продукты	Требуемое кол-во веществ
А1	А2	А3
В1
В2
В3
В4
Цена (грн.)

26. На 3-х типах технологического оборудования предприятие может изготовлять 5 видов изделий, для каждого из которых задано минимально необходимое количество их выпуска. Затраты времени на единицу продукции, фонд времени по группам оборудования, а также прибыль от выпуска одного изделия даны в таблице.

Тип оборудования	Нормозатраты времени (час.) на одно изделие	Фонд времени
I	II	III	IV	V
Первый
Второй
Третий
Минимальный план выпуска, шт.
Прибыль от единицы продукции (грн.)

Найти план выпуска продукции, который обеспечивает максимум прибыли.

27. Необходимо оптимальным образом распределить общую посевную площадь 250 га под разные культуры, чтобы получить максимум стоимости урожая, если известен общий объем производственных ресурсов: нормозатраты их на один гектар, а также урожайность каждой культуры и ее цена (см. таблицу).

Вид ресурса	Нормозатраты ресурсов на 1 га	Ресурсные объемы, час
пшеница	жито	картофель
Механизированный труд, час/га	1,5	1,4
Ручной труд, час/га	2,5	2,2
Цена 1ц продукции, грн.
Урожайность, ц/га

28. Для производства столов, шкафов и тумбочек мебельная фабрика использует ресурсы древесины двух видов. Нормозатраты этих ресурсов, их общее количество, а также доход от реализации одного изделия приведены в таблице.

Ресурсы древесины по видам	Нормозатраты ресурсов на одно изделие, м3	Общее количество ресурсов, м3
стол	шкаф	тумбочка
I	0,3	0,2	0,1
II	0,1	0,4	0,2
Доход от реализации одного изделия, грн

Найти план выпуска продукции, который обеспечивает максимум дохода.

29. Экономично выгодное откармливание животных предполагает, что в их дневном рационе будет белка - не меньше 2 кг, кальция - не меньше 500 г и фосфора - не меньше 300 г. Рацион состоит из трех видов кормов - А, В, С.

В таблице приведены данные о концентрации необходимых веществ в кормах, а также цена этих кормов.

Вид корма	Концентрация веществ в кормах г/кг	Цена кормов, коп./кг
белок	кальций	фосфор
А		2,4
В		2,8
С		2,2

Какое количество каждого вида корма нужно расходовать, чтобы общие затраты на откармливание были минимальными?

30. Автобаза, обслуживающая четыре линии Л1, Л2, Л3 и Л4, может заказать автомашины трех типов А1, А2 и А3. Эксплуатационные расходы, объем перевозок на одну машину каждого типа и общий план перевозок для каждой линии заданы в таблице. Допускается возможность перевыполнения плана перевозок на каждой линии. Составить заказ на автомашины, обеспечивающий наименьшие эксплуатационные расходы.

Тип линии	Объем перевозок на 1 машину	План перевозок
А1	А2	А3
Л1
Л2
Л3
Л4
Экспл. расходы

Литература

1. Цегелик Г.Г., Лінійне програмування. – Львів: Світ, 1995. – 216с.

2. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г., Линейное программирование (теория, методы и приложения). - М., 1969. – 424с.

3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Математическое программирование: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1980 – 300с., ил.

Учебное издание

Методические указания

к самостоятельной работе по курсу
«экономико-математическое моделирование»

(для студентов экономических специальностей дневной и заочной форм обучения)

Составители:

Моисеенко Виктор Алексеевич

Довгань Елена Федоровна

Дзержко Валентина Владимировна