Интегральная функция распределения

Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральная функция распределения (ИФР) – это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.

Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х ₁, х ₂, …, х_n, функция распределения имеет вид

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений х_i, величина которых меньше х.
Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство x_i < x ≤ x_{i +1}. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х < x выполняется, если величина Х примет значения х_к, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х < x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х ₁, Х = х ₂, Х = х ₃, …, Х = х_i. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем

Свойства интегральной функции распределения:

1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку

[0;1]: .

2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a, b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале

3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

, если

, если

График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 2

Рис. 2 График ИФР непрерывной случайной величины

График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 3

Рис. 3 График ИФР дискретной случайной величины