Інтегральне числення 4 страница

2. Визначений інтеграл. Продовжимо розгляд попереднього.

У кожному з відрізків [х₀, х₁], [х₁, х₂],... [х_n–1, х_n], візьмемо точку, яку позначимо (рис. 68):

Рис. 68

обчислимо значення функції , . Складемо суму

. (77)

Ця сума зветься інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [а;b]. Оскільки при довільному , яке належить відрізку , буде і всі , то

,

Отже,

, або

(78)

Геометричний зміст останньої нерівності при f(х) ³ 0 є у тому, що фігура, площа якої дорівнює S_п, обмежена ламаною, яка міститься між вписаною і описаною ламаними.

Сума S_п залежить від того, як поділено відрізок [а;b] на відрізки і від того, як взято точку у цьому відрізку.

Позначимо через найбільшу з довжин відрізків [х₀, х₁], [х₁, х₂],...,[х_n–1, х_n]. Розглянемо будь-яке ділення відрізка [a,b] на відрізки [х_n–1, х_n] такі, що . Очевидно, що при цьому число n у діленні прямує до нескінченності. Для кожного ділення, взявши відповідні значення , можна скласти інтегральну суму

. (79)

Розглянемо деяку послідовність ділення відрізка [а,b], у якій , при цьому і у кожному діленні беремо відповідні . Припустимо, що ця впорядкована послідовність інтегральних сум прямує до деякої границі

. (80)

Можемо сформулювати:

Визначення 1. Якщо при будь-яких діленнях відрізка [а,b] таких, що , і при будь-якому виборі точок на відрізках [х_i–1, х_i] інтегральна сума (79) прямує до однієї і тієї ж границі S, то ця границя зветься визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a;b] і позначається

.

Таким чином:

. (81)

Числа а і b відповідно є нижня і верхня границі інтеграла, функція f(х) є підінтегральною функцією, f(x)dx - підінтегральним виразом. Множина [а,b] є відрізком інтегрування, х - змінною інтегрування.

Визначення 2. Якщо для функції f(x) границя (81) існує, то функція є інтегрованою на відрізку [а,b].

Зауважимо, що нижня і верхня інтегральні суми є окремі випадки інтегральної суми (79), тому, якщо f(х) інтегровна, то нижня і верхня інтегральні суми прямують до тієї ж границі S, і тому на підставі рівності (81) можемо записати

,

.

Якщо побудувати графік підінтегральної функції у = f(х), то у разі f(x) ³ 0 інтеграл

буде чисельно дорівнювати площині Q так званої криволінійної трапеції, обмеженої вказаною кривою, прямими х = а, х = b і віссю Ох.

Зауваження 1. Підкреслимо, що визначений інтеграл залежить тільки від типу функції f(x) і границь інтегрування, але не від змінної інтегрування, яку можна позначити будь-якою буквою:

.

Зауваження 2. Коли вводили поняття визначеного інтеграла припустили, що а < b. Якщо b < а приймемо зa визначенням

.

Зауваження 3. Якщо a = b покладемо за визначенням, що для будь-якої функції f(x) має місце

.

Основа криволінійної трапеції має довжину, рівну нулю, отже, і площа її дорівнює нулю.

Зауваження 4. Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми зв'язано з великими труднощами. Тому далі буде подано метод, відкритий Ньютоном і Лейбніцем, який використовує глибокий зв'язок, існуючий між інтегруванням і диференціюванням.

3. Основні властивості визначеного інтеграла.

Властивість 1. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

, де A = const. (82)

Доведення.

.

Властивість 2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій. Так, у разі двох функцій:

. (83)

Доведення спирається на відповідну властивість границі суми.

Властивість 3. Якщо на відрізку [а,b], де а < b, функції f(x) i φ(x) задовольняють нерівності , то

. (84)

Доведення. Розглянемо різницю

.

Тут кожна різниця , . Отже, кожен член суми додатний, додатна уся сума і додатна її границя, тобто

, відкіля

, або .

Властивість 4. Якщо m і M - найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a;b] і а £ b, то

. (85)

Доведення. За умовою т £ f(x) £ Μ. За властивістю 3 маємо

,

.

Підставимо ці рівності у попередню нерівність і маємо (85).

Властивість 5. (Теорема про середнє значення). Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [а,b], то на цьому відрізку знайдеться така точка , що буде правильною рівність:

. (86)

Доведення. Нехай а < b. Якщо т і Μ найбільше і найменше значення функції f(x) на відрізку [а,b], то на підставі властивості 4, маємо:

.

Звідси вираз,який розташовано всередині нерівності, буде дорівнювати . Тобто, m £ m £ M Отже, при деякому значенні , будемо мати , або

.

Властивість 6. Для будь-яких трьох чисел а,b і с справедлива рівність

, (87)

якщо тільки усі ці інтеграли існують.

Доведення спирається на властивість інтегральної суми, яку можна розділити на окремі частини.

4. Обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лей-бніця. Нехай у визначеному інтегралі нижня границя а стала, а верхня границя b буде змінюватись. Тоді буде змінюватися і значення інтеграла, тобто інтеграл є функція верхньої границі:

. (88)

Якщо f(t) ³ 0, то Ф(х) численно дорівнює площі криволінійної трапеції аАХх (рис. 69). Очевидно, що ця площа змінюється у залежності від зміни х.

Знайдемо похідну від Ф(х) по х, тобто знайдемо похідну визначеного інтеграла (88) по верхній границі.

Рис. 69

Доведення. Дамо аргументу х приріст Δх, тоді маємо

.

Приріст функції Ф(x) дорівнює

.

До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє значення (властивість 5 визначеного інтеграла).·

,

де .

Знайдемо відношення: .

Отже, . Але коли , тому . За умовою теореми функція f(х) неперервна. Таким чином, .

Зауваження. З доведеної теореми виходить, що будь-яка неперервна функція має первісну.

Теорема 2. формула Ньютона-Лейбніця. Якщо F(x) є будь-яка первісна від неперервної функції f(x), то справедлива формула

. (89)

Доведення. Нехай F(x) є деяка первісна від функції f(x). За теоремою 1 функція є також первісною від f(x). Але дві первісні від однієї функції відрізняються на сталу величину С^*.

Отже, можемо записати

. (90)

Ця рівність є тотожність при відповідному С^*. Визначимо С^*, поклавши у (90) х = а, тоді

, або відкіля .

Отже, .

Поклавши х = b, маємо формулу Ньютона-Лейбніця:

.

Якщо повернемося до змінної х у останньомувиразі, то маємо

.

Якщо ввести позначення

,

то формулу (89) можна переписати так:

.

Вираз є знаком подвійної підстановки. Формула (89) дає практично зручний метод обчислення визначених інтегралів у тому разі, коли відома первісна підінтегральної функції. Тільки з відкриттям її визначений інтеграл зміг одержати те значення в математиці, яке він має зараз.

5. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

Теорема. Нехай дано інтеграл , де функція f(x) неперервна на відрізку [a;b].

Введемо нову змінну t за формулою .

Якщо а) , ; б) i неперервні на відрізку [a, b]; в) визначена і неперервна на [a, b], то

. (91)

Доведення. Якщо F(x) є первісна для функції f(x), то можемо записати

, (92)

. (93)

Справедливість останньої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по t. З рівності (92) маємо

.

З рівності (93) маємо

.

Праві частини цих рівностей рівні, отже, ліві частини теж рівні.

Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за формулою (91) не треба повертатися до старої змінної. Якщо обчислено другий з визначених інтегралів рівності (91), то маємо деяке число; цьому числу дорівнює і перший інтеграл.

Приклад. Обчислити інтеграл .

Розв'язання. Зробимо заміну змінної: x = rsint, dx = rcostdt.

Обчислимо нові границі:

х = 0, коли t = 0; х = r, коли t = p/2. Отже,

Обчислений інтеграл дає площину 1/4 круга, обмеженого колом

.

6. Інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Нехай u = u (x) i v = v(x) - диференційовані функції від х. Тоді

.

Інтегруємо обидві частини рівності у границях від а до b, маємо

. (94)

Оскільки , тому . Рівність (94) може бути записана у вигляді

,

або остаточно .

Приклад. Обчислити інтеграл .

Розв'язання. Тут ; v = x.

.

7. Геометричні застосування визначеного інтеграла.

1) Обчислення площин.

а) Якщо на відрізку [a,b] функція f(x) ³ 0, то, як відомо з попереднього, площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f(х), віссю Ох і прямими х = а і х = b, дорівнює

. (95)

Якщо f(x) £ 0 на [a,b], то визначений інтеграл теж від'ємний. За абсолютною величиною він дорівнює площі Q відповідної криволінійної трапеції.