Задание 3. 1.- 10. Используя задачи предыдущего раздела (задание 2), не­обходимо:

1.- 10. Используя задачи предыдущего раздела (задание 2), не­обходимо:

- к прямой задаче планирования, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линей­ного программирования;

- установить сопряженные пары прямой и двойственной задач;

- согласно сопряженным парам переменных из решения пря­мой задачи подучить решение двойственной задачи.

Задание 4.

1. Поставщики товара - оптовые коммерческие предпри­ятия А₁ А₂,.. .,А m имеют товаров соответственно в количестве а_1, а₂,..., а_m (i = 1, т) и розничные торговые предприятия В_1, В₂,.... В n - подали зая вку н а закупку товаров в объемах соответственно: b₁, b₂,..., b _п (j = 1,n). Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов поставки в соответствующие пункты потребления за­даны в виде матрицы С = (с_ij), (i = 1, т; j= 1, п).

Найдите такой план перевозки груза от поставщиков к по­требителям, чтобы совокупные затраты на перевозку были ми­нимальными.

а₁ =222 b₁ =125

а₂ =188 b₂ =75

а₃ =210 b₃ =200

а₄ =380 b₄ =380

b₅ =220

С =

2. Фирма «Союз» обеспечивает доставку видео- и аудиокас­сет с четырех складов, расположенных в разных точках города в четыре магазина.

Запас кассет, имеющихся на складах, а также объемы зака­зов магазинов и тарифы на доставку представлены в транспорт­ной таблице.

Склады	Магазины	Запасы, тыс. шт.
№1	№2	№3	№4
Склад № 1
Склад № 2
Склад № 3
Склад № 4
Заказы, шт.

Определите объемы перевозок, обеспечивающих их мини­мальные затраты.

3. Московский филиал фирмы «The Coca-Cola Company», выпускающей газированные напитки приблизительно равного спроса (Sprite, Coca-Cola, Fanta), складируемые в разных местах, должен поставить свою продукцию в четыре крупных московских супермаркета: «Рамстор-1», «Рамстор-2», «Седьмой Конти­нент», супермаркет «Арбатский».

Каждая упаковка содержит 12 банок емкостью 0,33 литра. Тарифы на доставку товара, объемы запасов и заказы на продук­цию приведены в таблице.

Склады	Супермаркеты	Запасы
«Рамстор-1»	«Рамстор-2»	«Седьмой континент»	«Арбатский»
Coca-Cola
Sprite
Fanta
Заказы, уп.

Определите оптимальный план поставок газированных на­питков в супермаркеты города, а также вид транспортного сред­ства для доставки продукции и затраты на перевозку.

4. Автотранспортная компания «Астрада» обеспечивает Дос­тавку шин «Bridgestone» с трех оптовых складов, расположенных в Москве, Нижнем Новгороде и Покрове в пять магазинов в Че­боксарах, Нижнем Новгороде, Вязниках, Набережных челнах и Казани. Объемы запасов шин на складах, объемы заявок магази­нов и тарифы на перевозку приведены в транспортной таблице.

Склады в городах	Магазины	Запасы
Чебоксары	Нижний Новгород	Вязники	Набереж­ные Челны	Казань
Москва
Нижний Новгород
Покров		б
Заявки

Составьте оптимальный план, обеспечивающий минималь­ные транспортные расходы перевозок.

5. Фирма «Московия» заключила контракт с компанией АЛРОСА (алмазы «России-Саха») на покупку промышленного золота для его реализации в пяти городах в объемах: Самара — 80 кг, Москва — 260 кг, Ростов-на-Дону — 100 кг, Санкт-Петер­бург — 140 кг, Нижний Новгород — 120 кг.

Компания располагает тремя месторождениями «Мирное», «Удачный» и «Полевое», которые планируют за год выработать соответственно 200, 250 и 250 кг золота.

Определите минимальную стоимость фрахта специализиро­ванного транспорта, обеспечивающую полное удовлетворение заявок покупателей, при заданной матрице тарифов.

6. Составьте оптимальный план перевозки автомобилей из городов Ижевск, Казань, Тольятти в города Москва, Саранск и Ульяновск. Стоимость перевозки одного автомобиля составляет 10 руб. за км. Расстояние между городами, объемы заявок и за­казов представлены в таблице.

Города	Города	Запасы, шт.
Москва	Саранск	Ульяновск
Ижевск
Казань
Тольятти
Заказы, шт.

Составьте оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные затраты на перевозку.

7. Составьте оптимальный план перевозки лекарств с мини­мальными затратами из аптечных складов в пять аптек города: больница № 15, городские клинические больницы №7, №23 и №50 и институт им. Бурденко. Запасы лекарств на складах, заявки потребителей и тарифы перевозок представлены в таблице.

Склады	Аптеки больниц	Запасы
№ 15	№7	№23	№50	Бурденко
АС№1
Фарма К.
ПРОТЕК
Заказы

8. Составьте оптимальный план перевозки угля с минималь­ными транспортными расходами с шахт Варгашорская, Запад­ная и Комсомольская, еженедельно добывающих соответ­ственно 26, 32 и 17 тыс. т. Покупатели угля расположены в раз­ных городах А, В, С и D, заявки которых составляют 28,19,12 и 16 тыс. т соответственно. Тарифы, определяющие стоимость перевоз­ки 1 тыс. т между поставщиками и потребителями, представлены в транспортной таблице.

Шахты	Потребители	Добыча угля, тыс. тонн в неделю
А	В	С	D
Западная
Варгашорская
Комсомольская
Заявки, тыс. тонн

9. Составьте оптимальный план завоза хлебобулочной продукции с минимальными транспортными расходами из трех пекарен фирмы «Колос» в четыре булочных города: А, В, С, D. Заказы на поставку хлебобулочных изделий, производитель­ность пекарен и транспортные тарифы представлены в транс­портной таблице.

Мини-пекарни	Булочные	Производительность, пекарен кг/сутки
А	В	С	D
№l
№2
№3
Заказы, кг/сутки

10. Сельскохозяйственный кооператив «Ласточка» в облас­ти имеет три филиала Ф₁, Ф₂ и Ф₃, которые обеспечивают постав­ками подсолнечных семян в соответствии с заявками пять заво­дов производителей подсолнечного масла А, В, С, D и Е. Объемы запасов семян, объемы заказов на поставку и тарифы на перевоз­ку приведены в транспортной таблице.

Филиалы	Заводы	Запасы, т
	А	В	С	D	Е
Ф1
Ф2
Ф3
Заявки, тонн

Постройте оптимальный план перевозки подсолнечных семян с минимальными транспортными расходами.

Задание 5.

1. Гражданин Игнатьев собирается разместить денежные средства (в пределах 100 ден.ед.) в банк. Банк предлагает два вида срочных вкладов. В соответствии с первым видом, деньги могут бать размещены на год и доход составит 20% (20% годовых). Второй вариант предполагает, что деньги могут быть получены через два года и доход по данному виду вкладов составляет 25% годовых. Предпочтения гр. Игнатьева описывает функция полезности U(x) = (3/5)^t lnx. Требуется определить, как гр. Игнатьев разместит деньги.

2. Гражданин Андреев собирается разместить 200 ед. денежных средств в различные инвестиционные проекты. Известно, что абсолютная величина дохода от размера х вложенных средств по рассматриваем трем проектам описывается зависимостями

f(x) = , f(x) = 3x^2/3, f(x)= 5x^1/2. Определить, как гр. Андрееву следует разместить средства, чтобы получить максимальный абсолютный доход.

3. Гражданин Сидоров инвестирует средства в три проекта. Известно, что если доли вложенных в каждый из проектов средств составляют х₁, х₂, х_3, то средняя доходность инвестиций составит величину 0,03 х₁ + 0,07 х₂ + 0,15 х₃, а риск вложения описывает функция

0,25х₁² + 0,45х₂² + 0,9х₃² – 0,1х₁х₂ + 0,4х₁х₃ + 0,9 х₂х₃.

Определить, в каких долях гр. Сидоров разместит средства в проекты, если известно, что он руководствуется соображениями получения средней доходности на уровне 0,08 с минимальным риском.

4. Покупатель Жуков на приобретение товаров выделил средства в размере 12 ден.ед. Ассортимент товаров насчитывает два вида, а их цены составляют 1 и 2 ден.ед. Предпочтения гр. Петрова описываются функцией полезности u(х₁,х₂) = х₁ + х₁х₂/2, где х₁ и х₂ – количества первого и второго товаров соответственно. Гр.Жуков, предъявляя спрос на товар, стремится максимизировать получаемую при этом полезность. Определите величину спроса на товары, который будет предъявлен гр. Жуковым.

5. Цены двух видов товаров равны соответственно 32 и 24 ден.ед. Определить, при каких количествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С = 3/2 х₁² + 2х₁ х₂ + х₂².

6. На двух предприятиях холдинга необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции, Затраты, связанные с производством х₁ изделий на первом предприятии равны 4х₁² рублей, а затраты, обусловленные изготовлением х₂ изделий на втором предприятии, составляют 20 х₂ + 6х₂² рублей. Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты на производство необходимой продукции были минимальными.

7. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве х₁ изделий первым предприятием его затраты составят 4х₁+х₁² рублей, а при изготовлении х₂ изделий вторым предприятием они составляют 8х₂ + х₂² рублей. Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальными.

8. Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить х₁ тыс.руб., а на зарплату вновь принятых работников х₂ тыс.руб., то прирост объема продукции составит Q = 0,001 х₁^0,6х₂^0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объема продукции был максимальным?

9. Общие издержки производства заданы функцией f(x) = 0,5х₁ ² + 0,6х₁х₂ + 0,4х₂² + 700х₁ + 600х₂ + 2000, где х₁ и х₂ – соответственно количество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?

10. Доход от продажи журнала составляет х₁² + х₂². Получить максимальную прибыль, если общая сумма издержек равна 5х₁² + 6х₁х₂ + 5х₂² = 8, где х₁ – издержки на зарплату, х₂ – на ресурсы.